Eстествено число

[nataliaoreiro]

Здравейте,
имам проблем със следните задачи:
1.Да се намери най-голямото естествено число n, за което n+4 дели n^3+2015 .
2.Да се намерят всички естествени числа n, за които 20n+2 дели 1095n+2016.

[Davids]

1. Така, започваме с факта, че [tex]n[/tex] е естествено число.
На практика искаме дробта [tex]\frac{n^3 + 2015}{n + 4}[/tex] също да е равна на естествено число.
Това, което ще направя аз, е следното: деление на полиноми, за да достигнем до вид с квадратен тричлен и остатък.
Няма да описвам подробно процеса (мисля, че и двамата знаем как се прави), но като резултат се получава: [tex]n^2 - 4n + 16 + \frac{1951}{n+4}[/tex]
Първата част от израза е квадратния тричлен [tex]n^2 - 4n + 16[/tex], който е с отрицателна дискриминанта. Оттук извеждаме заключението, че той е равен на естествено число за всяко естествено [tex]n[/tex]. Следователно, за да покрием условието, остава другото събираемо от израза също да е естествено число. А другото събираемо е [tex]\frac{1951}{n+4}[/tex]. Максималната стойност на [tex]n[/tex], разбира се, е тази, за която дробта е равна на 1. Тоест [tex]n_{max} = 1947[/tex], за което условието е изпълнено.

[Davids]

2. Имаме вида [tex]\frac{1095n + 2016}{20n+2} \in N[/tex] (e естествено число).
Ще означа нашето естествено частно с [tex]p[/tex] за по-лесно. Та, отново ще разделим полиномите и ще получим:
[tex]\frac{1095n + 2016}{20n+2} = \frac{219}{4} + \frac{2.2016 - 219}{2(20n+2)} = p[/tex]
Доразвиваме получения израз
[tex]= \frac{219}{4} + \frac{3813}{4(10n+1)} = p[/tex]
[tex]\Rightarrow 219 + \frac{3813}{10n+1} = 4p[/tex]
Лявото събираемо е естествено число, дясната страна на равното е естествено число, следователно остава да открием всички естествени [tex]n[/tex], за които [tex]\frac{3813}{10n+1} \in N[/tex]
За да си помогнем, чисто и просто ще разделим [tex]3813[/tex] на прости множители (е, всъщност не е толкова чисто и просто - зор си е да ги нацелиш ). Но, [tex]3813 = 3.31.41[/tex].
Вече е лесно:
[tex]\frac{3.31.41}{10n+1} \in N[/tex]
[tex]\Rightarrow n_1 = 3; n_2 = 4[/tex]

[Михаил05]

1. Така, започваме с факта, че [tex]n[/tex] е естествено число.
На практика искаме дробта [tex]\frac{n^3 + 2015}{n + 4}[/tex] също да е равна на естествено число.
Това, което ще направя аз, е следното: деление на полиноми, за да достигнем до вид с квадратен тричлен и остатък.
Няма да описвам подробно процеса (мисля, че и двамата знаем как се прави), но като резултат се получава: [tex]n^2 - 4n + 16 + \frac{1951}{n+4}[/tex]
Първата част от израза е квадратния тричлен [tex]n^2 - 4n + 16[/tex], който е с отрицателна дискриминанта. Оттук извеждаме заключението, че той е равен на естествено число за всяко естествено [tex]n[/tex]. Следователно, за да покрием условието, остава другото събираемо от израза също да е естествено число. А другото събираемо е [tex]\frac{1951}{n+4}[/tex]. Максималната стойност на [tex]n[/tex], разбира се, е тази, за която дробта е равна на 1. Тоест [tex]n_{max} = 1947[/tex], за което условието е изпълнено.

[Михаил05]

1. Така, започваме с факта, че [tex]n[/tex] е естествено число.
На практика искаме дробта [tex]\frac{n^3 + 2015}{n + 4}[/tex] също да е равна на естествено число.
Това, което ще направя аз, е следното: деление на полиноми, за да достигнем до вид с квадратен тричлен и остатък.
Няма да описвам подробно процеса (мисля, че и двамата знаем как се прави), но като резултат се получава: [tex]n^2 - 4n + 16 + \frac{1951}{n+4}[/tex]
Първата част от израза е квадратния тричлен [tex]n^2 - 4n + 16[/tex], който е с отрицателна дискриминанта. Оттук извеждаме заключението, че той е равен на естествено число за всяко естествено [tex]n[/tex]. Следователно, за да покрием условието, остава другото събираемо от израза също да е естествено число. А другото събираемо е [tex]\frac{1951}{n+4}[/tex]. Максималната стойност на [tex]n[/tex], разбира се, е тази, за която дробта е равна на 1. Тоест [tex]n_{max} = 1947[/tex], за което условието е изпълнено.

Допуснал си грeшка при делението на полиномите . Получава се 2079 остатък и следователно n=2075

[Davids]

Допуснал си грeшка при делението на полиномите . Получава се 2079 остатък и следователно n=2075

Не съм съгласен Провери пак (понеже не мога да набера синтаксиса на латекса, поствам направо снимка от SymboLab )

PolyDivision.png (19.48 KiB) Прегледано 2570 пъти