Сборът от цифрите на числото 4444^4444 и b е сборът от цифри

[nataliaoreiro]

Здравейте,
Можете ли да ми обясните как се решават тeзи задачи:
1.Измежду делителите на числото 1001001001, които са по-малки от 10000, да се намери най-големият.

2.Ако числата p и q са прости и уравнението x^2-px+q=0 има два различни корена, които са естествени числа, да се намерят p и q.

3.Нека a е сборът от цифрите на числото 4444^4444 и b е сборът от цифрите на a. Да се намери сборът от цифрите на b.


Благодаря предварително!

[Davids]

2. Тук всъщност е по-скоро логика, отколкото математика. Ползваме формулите на виет, получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} p = x_1 + x_2 \\ q = x_1.x_2 \end{array}[/tex]
Знаем, че за да е произведението от две естествени числа просто число, то едното от тях трябва да е 1, а другото - да е равно на простото. Оттам следва, че:
[tex]q = x_1.x_2 = 1.q[/tex]
[tex]\Rightarrow x_1 = 1; x_2 = q[/tex]
Оттам следва, че [tex]p = 1 + q[/tex]
Знаейки, че и [tex]p[/tex], и [tex]q[/tex] са прости, лесно се сещаме, че единственото просто число, към което можем да прибавим 1 и да получим друго просто число, е 2 (тъй като всяко друго нечетно, като добавим 1, ще се превърне в четно и няма да е просто). Следователно [tex]q = 2[/tex], а оттам и [tex]p = 3[/tex]

[Davids]

3. За тази задача има доста хубави решения из интернет. Някои достигат до отговора чрез постоянна сумация на броя цифри (докато не се достигне едноцифрена сума), a.k.a digital root, други извъртат решението до дадените 3 сумации, a.k.a сумата от цифрите на сумата от цифрите на сумата от цифрите на [tex]4444^{4444}[/tex]. Така или иначе отговорът е [tex]7[/tex]
Давам един-два линка: тук и тук и тук и т.н.

[Davids]

1. Ще представим [tex]1001001001 = 1001.10^6 + 1001 = 1001(10^6 + 1)[/tex]
Ще развием [tex]10^6 + 1[/tex] по модела на [tex]x^6 + 1 = (x^2)^3 + 1^3 = (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)[/tex]
Заместваме и получаваме, че [tex]10^6 + 1 = (10^2 + 1)(10^4 - 10^2 + 1) = 101.9901[/tex]
И така финално достигаме до вида:
[tex]1001001001 = 1001.101.9901 = 7.11.13.101.9901[/tex]
След като го разделихме на прости множители, мисля, че вече е очевидно, че [tex]9901[/tex] е най-големият делител, който е по-малък от [tex]10000[/tex].
Изчотник