Да се докаже, че 13^n+2 е съставно число

[Stiliana]

Да се докаже, че 13^n+2 е съставно число, но не може да е точен квадрат

[Добромир Глухаров]

$13^n+2>3;\ \forall n\in\mathbb{N}$

$13\equiv 1(mod\ 3)\Rightarrow 13^n\equiv 1(mod\ 3)\Rightarrow 13^n+2\equiv 1+2\equiv 0(mod\ 3)$

$13^n+2$ се дели на $3$ и е повече от $3$, следователно е съставно.


Забелязваме свойство на нечетните точни квадрати: $(2n+1)^2=4n^2+4n+1\equiv 1(mod\ 4)$

$13^n+2$ е нечетно число, следователно за да бъде точен квадрат, трябва $13^n+2\equiv 1(mod\ 4)$

Но, от друга страна $13^n+2\equiv (12+1)^n+2\equiv 1^n+2\equiv 3(mod\ 4)$ - противоречие.

Следователно $13^n+2$ не може да бъде точен квадрат.

[Stiliana]

Благодаря!