2 задачи по теория на числата

[Mili]

Здравейте,попаднаха ми тези две задачки по теория на числата. Може ли някой да ми помогне с тях?

Да се нам. всички р,за които съществуват m и n, такива,че
p+1=2[tex]m^{2}[/tex]
[tex]p^{2}[/tex]+1=2[tex]n^{2}[/tex]

[Mili]

и другата:

([tex]x^{2}[/tex] - [tex]y^{2}[/tex]) цялото на квадрат = 1 + 16у
Да се реш. в цели числа

[martin123456]

на 1ва задача не е ясно с какви числа се работи. p просто ли е?

[martin123456]

2
[tex]16y+1 \geq 0[/tex]=>[tex]y \geq 0[/tex]. виждаме че [tex](x,y)[/tex] решение <=> [tex](-x,y)[/tex] решение, затова считаме [tex]x \geq 0[/tex].
[tex](x+y)^2(x-y)^2=16y+1[/tex]=>[tex](x+y)^2|(16y+1)[/tex] => [tex]16y+1 \geq (x+y)^2 \geq y^2[/tex], понеже [tex](x+y)^2 \geq y^2 \Leftrightarrow x(x+y) \geq 0[/tex]. значи [tex](y-8)^2 \leq 65[/tex] => [tex]y-8 \in \pm\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}[/tex] => [tex]y \in \{8,9,10,11,12,13,14,15,16,7,6,5,4,3,2,1,0\}[/tex]. сега се замества и се вижда кое е ок.

[allier]

Може и повече да се стесни интервала:

[tex](x^2-y^2)^2 \ge (2y-1)^2[/tex], защото x [tex]\ne[/tex] y

[Mili]

на 1ва задача не е ясно с какви числа се работи. p просто ли е?

Дам, сори, пропуснала съм го - p -просто число

[Hena]

Задача 2:
При [tex]p=2[/tex],няма решение.Следователно можем да запишем [tex]p=2l+1[/tex].И така получаваме,че:
[tex]l+1=m^2[/tex] и [tex]2l^2+2l+1=n^2[/tex].
[tex]p=2l+1\equiv {1,3}(mod 4) \Rightarrow l\equiv {0,3}(mod 4)[/tex].Тогава:
1 случай:
[tex]l=4t+3 \Rightarrow (4t+4)^2+(4t+3)^2=n^2 \Rightarrow 32t^2+56t+25=n^2 \Rightarrow 32t^2+56t+25-n^2=0[/tex].Сега пресмятаме дискриминантата:
[tex]D=28^2-32(25-n^2)=32n^2-16=16(2n^2-1)=16p^2[/tex].

[tex]\Rightarrow t_{1,2}=\frac{-7\pm p}{ 8}[/tex].Сега от формулите на Виет пресмятаме:

[tex]\frac{p+7}{ 8}.\frac{7-p}{ 8}=25-n^2 \Rightarrow (8n-p)(8n+p)=1551[/tex].Делителите на [tex]1551[/tex] са [tex]3,11,47[/tex].Оттук получаваме само решението [tex]p=7,m=2,n=5[/tex]
2 случай:
[tex]l=4t \Rightarrow (4t+1)^2+(4t)^2=n^2 \Rightarrow 32t^2+8t+1-n^2=0[/tex].Сега пресмятаме дискриминантата:
[tex]D=4^2-32(1-n^2)=32n^2-16=16(2n^2-1)=16p^2[/tex].

[tex]\Rightarrow t_{1,2}=\frac{-1\pm p}{8 }[/tex].Сега от формулите на Виет пресмятаме:

[tex]\frac{p+1}{ 8}.\frac{1-p}{ 8}=1-n^2 \Rightarrow (8n-p)(8n+p)=63[/tex].Оттук не получаваме решение,тъй като [tex]p[/tex] трябва да е просто.