Алгебра и теория на числата

[marti4461]

Здравейте! Как сте? Може ли малко помощ със задачите по алгебра и теория на числата?
1. Докажете, че числата 21n+4 и 14n+3 са взаимно прости за всяко число n.
2. Докажете, че ако p и q са прости числа, по-големи от 3, то [tex]p^{2} - q^{2}[/tex] се дели на 24.
3. Да се намерят всички двойки (p, n), където p е просто число, а n е естествено число, за които:
а) [tex]p^{2}[/tex] дели [tex]11^{p{2}} - 1[/tex]
б) [tex]p^{n}[/tex]дели [tex]10^{{p}n} - 1[/tex]

Като в 3 задача а) е p на степен 2, а в б) е p на степен n.

4. Решете сравненията в системата:
а) x[tex]\equiv[/tex] 5 (mod 4)
x[tex]\equiv[/tex] 3 (mod 7)
x[tex]\equiv[/tex] 5 (mod 9)
б) x[tex]\equiv[/tex] 10 (mod 11)
x[tex]\equiv[/tex] 0 (mod 15)
x[tex]\equiv[/tex] 0 (mod 9)
x[tex]\equiv[/tex] 20 (mod 7)

Надявам се, че може да ми помогнете!

[Knowledge Greedy]

1. Работим с цели числа [tex]n[/tex].
Нека [tex]d[/tex] е най-големият положителен общ делител на [tex]21n+4[/tex] и [tex]14n+3[/tex]
Записваме [tex]d=(21n+4; 14n+3)[/tex]
Значи [tex]d[/tex] общ делител и на разликата им и по-малкото от тях (Алгоритъм на Евклид.)
[tex]d=(7n+1; 14n+3)[/tex]
Продължаваме така
[tex]d=(7n+1; 7n+2)[/tex] Тук може да спрем, всеки две съседни естествени числа са взаимно прости.
А може и да продължим до
[tex]d=(1; 7n+1)[/tex], което означава, че [tex]d[/tex] e делител на [tex]1[/tex], следователно [tex]d=1[/tex]
А числата, за които
[tex](21n+4; 14n+3)=1[/tex] са взаимно прости.

2. Щом [tex]p[/tex] и [tex]q[/tex] са прости числа, по-големи от [tex]3[/tex], всяко от тях дава остатък [tex]1[/tex] или остатък [tex]5[/tex] при деление на [tex]6[/tex]. ( Ако не е така, а примерно [tex]p=6k[/tex] - не е просто; ако [tex]p=6k+2=2(3k+1)[/tex] - не е просто; ако p=6k+3=3(2k+1) - не е просто; ако p=6k+4=2(3k+2)- не е просто.)
Следователно може да означим:
сл.1. [tex]p=6t+1[/tex] и [tex]q=6s+1[/tex] Веднага следва, че [tex]p^{2} - q^{2}=12(t-s)[3(t+s)+1][/tex]
Дотук [tex]p^2-q^2[/tex] се дели на [tex]12[/tex]
Но числата [tex](t-s)[/tex] и [tex](t+s)[/tex] са с еднаква четност, значи и [tex](t-s)[/tex] и [tex]3(t+s)[/tex] са такива (или и двете са нечетни, или и двете са четни!).
Но [tex](t-s)[/tex] и [tex]3(t+s)+1[/tex] са вече с различна четност. Това доказва, че със сигурност сред делителите на разликата [tex]p^{2} - q^{2}[/tex] освен [tex]12[/tex] има поне още една двойка, следователно [tex]p^{2} - q^{2}[/tex] се дели на [tex]24[/tex];

сл.2. [tex]p=6t+5[/tex] и [tex]q=6s+1[/tex] Веднага следва, че [tex]p^{2} - q^{2}=36t^2-36s^2+60t-12s+24[/tex]
Явно ще трябва да докажем, че [tex]12(3t^2-3s^2+5t-s)[/tex] се дели на [tex]24[/tex] или - както в първия случай,
че [tex](3t^2-3s^2+5t-s)[/tex] е четно.
Представяме [tex]3t^2-3s^2+5t-s=(t-s)[3(t+s)+1]+4t[/tex] - което е четно - отново поради еднаква четност на [tex](t-s)[/tex] и [tex](t+s)[/tex].
С това и този случай е доказан.

сл.3. [tex]p=6t+5[/tex] и [tex]q=6s+5[/tex]
По нищо не се различава от сл.1. , само дето [tex]p^{2} - q^{2}=12(t-s)[3(t+s)+1+4][/tex]

сл.4. [tex]p=6t+1[/tex] и [tex]q=6s+5[/tex] - той е аналогичен на сл.2.

За следващите задачи няма да мога да пиша толкова подробно (поне не в същия стил).

[Knowledge Greedy]

3. а)
[tex]11^{p^2} \equiv 1(mod \,\ p^2) \,\ \Rightarrow \,\ 11^{p^2} \equiv 1(mod \,\ p)[/tex]

[tex]11^p \equiv 11(mod \,\ p)[/tex]

[tex]\left (11^p \right )^{p} \equiv 11^p(mod \,\ p) \,\ \Rightarrow \,\ 11^{p^2} \equiv 11^p(mod \,\ p) \,\ \Rightarrow \,\ 11^{p^2} \equiv 11(mod \,\ p)[/tex]

Дотук [tex]11 \equiv 1(mod \,\ p)[/tex]
и
[tex]\Rightarrow \,\ 10 \equiv 0(mod \,\ p) \,\ \Rightarrow \,\ p=2 \,\ или \,\ p=5[/tex]

Действително, [tex]11^4-1[/tex] е кратно на [tex]4[/tex],
а [tex]11^{25}-1=108347059433883722041830250= 2*5^3*3001*3221*24151*1856458657451[/tex] се дели на [tex]25[/tex].
(Това последното - с https://www.numberempire.com/numberfactorizer.php , но може и без него )

3.б) За да приложим същия подход проверяваме, че [tex]p\ne 2[/tex] и [tex]p \ne 5[/tex].
С помощта на МТФ, последователно получаваме
[tex]10^{p^{n}} \equiv 10^{p^{n-1}} \equiv ... \equiv10^{p^{2}} \equiv 10^{p} \equiv 10 (mod \,\ p)[/tex]
А от началното условие
[tex]10^{p^{n}} \equiv1 (mod \,\ p)[/tex]

Следователно [tex]p[/tex] дели [tex]9[/tex] и явно е необходимо [tex]p=3[/tex]
Остава да проверим - с индукция, че [tex]\forall n \,\ \Rightarrow \,\ 3^n \,\ дели \,\ (10^{3^{n}} - 1)[/tex].

[chef_georg]

Благодаря много!

[geripost]

Здравейте,

Моля за помощ:
Задача 1:Намерете последните две цифри на числото 3 на степен m (записано в десетична бройна система), където m е 2209013409.

Задача2: Решете сравненията: 7x≡0(mod22) ; 10x≡4(mod45)
Задача 3. Да се решат в цели числа уравненията: 4x+0y= 10 (според мен тук няма решение?) ; x+4y+z=5

Благодаря предварително!

[Гост]

Решете сравненията:
(а) 7x ≡ 3 (mod 15);
(б) 10x ≡ 6 (mod 35).
може ли малко помощ

[Гост]

x ≡ 2 (mod 11)
x ≡ 3 (mod 15)
x ≡ 3 (mod 9)
x ≡ 5 (mod 7)

може ли някой да ми помогне с примера