Безкрайна сума

[Vurbaninator]

Вярно ли е равенството
1+2+3+...+n+...=[tex]\П_{p}^{ }1+p^2+p^3+...[/tex]?

[pal702004]

Нищо не се разбира, опиши условието с думи

[Добромир Глухаров]

Дзета функция на Риман - $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=(Ойлер)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

$1+2+3+\cdots=\zeta(-1)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p}=\prod_{p\in\mathbb{P}}(1+p+p^2+p^3+\cdots+p^n+\cdots)$

Изглежда вярно, само дето редовете са разходящи. (Макар, че на Рамануджан например това не му е било проблем .)

[Vurbaninator]

Вярно ли е, че безкрайната сума на всички естествени числа е равна на безкрайното произведение 1+p+p^2+p^2+... от всички прости числа?

[Vurbaninator]

Последното равенство е вярно само за безкрайни геометрични прогресии, чиито частно |q|<1.

[Добромир Глухаров]

Последното равенство е вярно само за безкрайни геометрични прогресии, чиито частно |q|<1.

То и равенството $1+2+3+\cdots=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{1-p}$ не е вярно, освен, понеже редовете са разходящи, още и защото редицата от парциалните суми на реда вляво е монотонно растяща, а редицата на реда-произведение вдясно е знакопроменлива. Рамануджан обаче използва подобни фалшиви тъждества, за да изведе верни тъждества - как точно, вече не си спомням - гледал съм някакви клипчета в You-Tube.

[Vurbaninator]

Ха, ха, ха. Няма как да са фалшиви.

[Vurbaninator]

Тези дни се опитвам да събера колкото се може повече доказателства за съществуването на безброй много прости числа и попаднах на доказателство, ползващо хармоничен ред и това равенство на Ойлер, което Добромир Глухаров написа по-горе.

[Добромир Глухаров]

Ха, ха, ха. Няма как да са фалшиви.

Искам да кажа, че ако от А следва Б и Б се окаже вярно, не е задължително и А да е било вярно.

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline\\ P&Q&P\to Q\\\hline\\0&0&1\\0&1&1\\1&0&0\\1&1&1\\\hline\end{array}$