Седем прости числа сред 29 последователни

[KOPMOPAH]

Нека $k$ е естествено число. Дадено е, че сред $29$ последователни чисел $30k+1$, $30k+2$, ..., $30k+29$ има $7$ прости. Докажете, че първото и последното число са прости.

[Davids]

T.e. са дадени 29-те числа от вида:
$30k + n, n \in \N, n \le 29$

Съставно ще е всяко число, за което $n$ споделя поне един множител с $30k$.

Понеже всяко второ от тях ще се дели на две, можем да съкратим потенциално простите до всички от вида:
$30k + (2n + 1), n \in \Z_{15}$ (където $\Z_{15} = \{0, 1, 2, ..., 14\}$)

Разписваме това нагледно и елимимнираме делящите се на 3 и 5:
$30k + (2n + 1), n \in \{0, \underbrace{\cancel{1}}_3, \underbrace{\cancel{2}}_5, 3, \underbrace{\cancel{4}}_3, 5, 6, \underbrace{\cancel{7}}_{3, 5}, 8, 9, \underbrace{\cancel{10}}_3, 11, \underbrace{\cancel{12}}_5, \underbrace{\cancel{13}}_3, 14\}$

Останахме с 8 потенциално прости числа, за които знаем, че 7 са прости:
$30k + n, n \in \{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}$

Тоест, $k$ има за множител само едно от простите числа в множеството, но не съм сългасен, че това означава, че последното е просто... Ако $29|~ k$, то $29|~30k + 29$, т.е. не е винаги просто...
И дотук съм аз, малко почвам да се обърквам с даденото.
Ще се радвам на компетентна поправка.

[pal702004]

От тези числа прости биха могли да бъдат $30k+1,7,11,13,17,19,23,29$
Или от тези числа точно едно е съставно. Но поне едно от тези числа се дели на 7 и то е съставното.
Числата $30k+1$ и $30k+29$ дават равни остатъци при делене на 7 и следователно или и двете се делят, или и двете не се делят на 7.
$30k+i \equiv 2k+i \pmod 7$

$k\equiv 0\Rightarrow 30k+7\equiv 0 \pmod 7$
$k\equiv 1\Rightarrow 30k+19\equiv 0 \pmod 7$
$k\equiv 2\Rightarrow 30k+17 \equiv 0 \pmod 7$
$\boxed{k\equiv 3\Rightarrow 30k+1 \equiv 0 \pmod 7\Rightarrow 30k+29 \equiv 0 \pmod 7}$
$k\equiv 4\Rightarrow 30k+13 \equiv 0 \pmod 7$
$k\equiv 5\Rightarrow 30k+11 \equiv 0 \pmod 7$
$k\equiv 6\Rightarrow 30k+23 \equiv 0 \pmod 7$

[pal702004]

По-простичко, числата $30k+\{1,7,11,13,17,19,23\}$ образуват пълна система остатъци по модул 7 и точно едно от тях се дели на 7 (и следователно е съставно).
Но ако $30k+1$ се дели на 7, то и $30k+29$ също се дели.

[KOPMOPAH]

Ключът към решението е остатъкът по модул $7$, както съвсем правилно е посочил колегата pal702004. Няма нужда от допълване на отговора.

Добре.gif (52.86 KiB) Прегледано 2529 пъти

[S.B.]

Нека $k$ е естествено число. Дадено е, че сред $29$ последователни чисел $30k+1$, $30k+2$, ..., $30k+29$ има $7$ прости. Докажете, че първото и последното число са прости.

Ще представя числата в десетична бройна система

Ако цифрата на единиците е $ 0,2,4,5,6,8$ очевидно числата са съставни;
Прости могат да бъдат само числата с цифра на единиците $ 1,3,7,9$,като се направи за всяко непосредствена проверка за делимост на $3 ,9 ,7$
Аз ще разгледам само първото и последното число,защото такова е изискването на условето.Останалите прости числа се получават по аналогичен начин,като постепенно се елиминират съставните числа.

$30k + 1 = 10.3k + 1$
Цифрата на единиците не е нито четна,нито $5$ нито $0$ .Ще направя проверка за делимост на $3$,$9$ и $7$:
Делимост на $3$ : НДУ е сбора от цифрите да се дели на $3$.В случая сборът от цифрите на $10.3k + 1$ e $3k + 1$:
$\frac{3k + 1}{3} = \frac{3k}{3} + \frac{1}{3} = k + \frac{1}{3}$ т.е. не се дели точно,а се получава остатък $\frac{1}{3} \Rightarrow$числото не се дели на $3$
Делимост на $9$ : НДУ е сбора от цифрите да се дели на $9$:
$\frac{3k + 1}{9} = \frac{3k}{9} + \frac{1}{9}$ т.е. не се дели точно на $9$ получава се остатък $\frac{1}{9} \Rightarrow $ числото не се дели на $9$
Дали се дели на $7$ :

$\frac{10.3k + 1}{7} = \frac{10.3k}{7} + \frac{1}{7} \Rightarrow $ не се дели точно на $ 7$ ,тъй като дава остатък $\frac{1}{7} \Rightarrow$
$30k + 1$ е просто число

$30k + 29 = 10(3k + 2) + 9$
Цифрата на единиците не е четна,нито $5$
Делимост на $3$ и на $9$ :
сборът от цифрите е : $3k + 2 + 9 = 3k + 11$
$\frac{3k + 11}{3} = \frac{3k}{3} + \frac{11}{3} = k + 3 + \frac{2}{3} \Rightarrow$ дава остатък и не се дели точно на $3$
$\frac{3к + 11}{9} = \frac{3k}{9} + \frac{11}{9} = \frac{k}{3} + 1 + \frac{2}{9} \Rightarrow$ дава остатък и не се дели точно на $9$
Дали се дели точно на $7$:
$\frac{10(3k + 2) + 9}{7} = \frac{30k}{7} + \frac{20}{7} + \frac{9}{7} = \frac{30k}{7} + 4 + \frac{1}{7} \Rightarrow$ дава остатък и не се дели точно на $7 \Rightarrow$
$30k + 29$ е просто число

[S.B.]

....................................................................
Аз ще разгледам само първото и последното число,защото такова е изискването на условето.Останалите прости числа се получават по аналогичен начин,като постепенно се елиминират съставните числа.
......................................................

Така разтълкувах условието - така и представих решението....
Поздравления за pal702004!