Математиката като музика

[KOPMOPAH]

Бродейки из просторите на Интернет попаднах на един цикъл задачи, които авторът им вижда като музикално произведение. Ето съкратен приблизителен превод и самите задачи:

Произведението се състои от пет задачи и Финал, в които авторът по различни начини решава задачи от една позната на всички любители на математиката тема.

Задача 1 открива цикъла. Тук за пръв път се появява общата за цялото произведение тема. Задачата е шега...
Дели ли се числото $3^{100}-1$ на $2$?

Задача 2 развива темата за делимост.
Дели ли се числото $2^{100}-1$ на $3$?

Задача 3 е най-виртуозната част от цикъла.
Да се докаже, че числото $2^{300}-1$ е кратно на $7$.

Задача 4 се счита за смислова кулминация на произведението
Да се докаже, че числото $2^{100}-1$ е кратно на $15$.

Задача 5 завършва вариациите по темата и в същото време е още една елегантна шега в стила на старите майстори, очертаваща, но не завършваща цикъла.
Дели ли се числото $2^{35}+1$ на $11$?

Завършва произведението Финал

Скрит текст: покажи

С известните формули$$x^n-a^n=(x-a)\left(x^{n-1}+x^{n-2}a+...+x.a^{n-2}+a^{n-1}\right)$$ $$x^{2n+1}+a^{2n+1}=(x+a)\left(x^{2n}-x^{2n-1}a+x^{2n-2}a^2+...-x.a^{2n-1}+a^{2n}\right)$$при $=1$ може значително да се опрости решаването на всичките задачи...

Един приятел на автора на задачите оприличава произведението с 24 капричио на Паганини. За ценителите предоставям едно необичайно изпълнение на Ванеса Мей на това капричио.

[KOPMOPAH]

Задача 1
Дели ли се числото $3^{100}-1$ на $2$?

Естествено, че се дели, тъй като $3^{100}$ е нечетно ...

[KOPMOPAH]

Задача 2
Дели ли се числото $2^{100}-1$ на $3$?

Кратка и елегантна задача.$$2^{100}-1=\left(2^{50}-1\right).\left(2^{50}+1\right)$$Числата $\left(2^{50}-1\right)$, $2^{50}$ и $\left(2^{50}+1\right)$ са три последователни цели числа, значи със сигурност едното от тях се дели на $3$... и това не е $2^{50}$

[S.B.]

Задача 3 е най-виртуозната част от цикъла.
Да се докаже, че числото $2^{300}-1$ е кратно на $7$.

[tex]2^{300} - 1 = 2^{3.100} - 1 = (2^{3})^{100} - 1= 8^{100} - 1^{100} = (8 - 1)(8^{99} + 8^{98} +........1) = 7.(8^{99} + 8^{98} +....1))[/tex]
Това е произведение :
$B = 7.A$ , което определено е кратно на $7$,защото единият от множителите е $7$

[S.B.]

Задача 4 се счита за смислова кулминация на произведението
Да се докаже, че числото $2^{100}-1$ е кратно на $15$.

Задача 5 завършва вариациите по темата и в същото време е още една елегантна шега в стила на старите майстори, очертаваща, но не завършваща цикъла.
Дели ли се числото $2^{35}+1$ на $11$?

Задача 4:
[tex]2^{100} - 1 = (2^{4})^{25} - 1 = 16^{25} - 1^{25} = (16 - 1)(16^{24} + 16^{23} ......+ 1) = 15.(16^{24} + 16^{23} + ...+ 1) = 15.А[/tex]
Изразът е кратен на $15$ защото е произведение в което единият от множителите е $15$

Задача 5:
[tex]2^{35} + 1 = (2^{5})^{7} + 1 = 32^{7} + 1^{7} = (32 + 1)(2^{31} - 2^{30} + ....- 2 + 1) = 33.B = 11.3.B[/tex]
Изразът е кратен на 11,защото е произведение от множители ,единият от които е 11

Скрит текст: покажи

Музиката на Паганини, с невороятен аранжимент и при виртуозното изпълнение на Ванеса Мей наистина спира дъха!Задачите също са подбрани така,че градират и темите се надграждат!Нищо чудно!Музиката е математика,а математиката е изкуство,така,че всъщност математиката е музика!