Нека а и b са цели числа и (10,a) = (10,b) = (a,b) =1, Да се

[antipas]

1. Нека а и b са цели числа и (10,a) = (10,b) = (a,b) =1, Да се изисли (10аb,10a + 10b + ab)
2.Нека а и b са цели числа и (10,a) = (4,b) = (a,b) =1, Да се изисли (4a + 10b, ab)
3. Да се провери дали числото( 2^40 - 1) е просто.
4. Да се представи ( 4 +10) -тото поред просто число , като разлика на квадратите на две естествени числа .

Много ще съм благодарен .. ако някой ми помогне... Благодаря предварително !

[martin123456]

1
[tex](10ab, 10a+10b+ab)=d \Rightarrow d|10ab[/tex]. Да допуснем, че [tex](d,10) \ne 1[/tex]. [tex]\Rightarrow \exist p \in \mathbb{P}:\hspace{2mm} p|d, p|10[/tex]. [tex]d|(10a+10b+ab) \Rightarrow p|(10a+10b+ab)[/tex]. Но [tex]p|10 \Rightarrow p|ab[/tex]. Сега [tex]p|10, p|ab => \empty[/tex]. Допускането е грешно. [tex]\Rightarrow d|ab \Rightarrow d|(10a+10b) \Rightarrow d|10(a+b) \Rightarrow d|(a+b)[/tex]. Нека [tex]p \in \mathbb{P}: \hspace{2mm} p|d[/tex] от [tex]p|ab \Rightarrow[/tex] например [tex]p|a[/tex]. Но [tex]p|(a+b) \Rightarrow p|b \Rightarrow \empty \Rightarrow (10ab,10a+10b+ab)=1[/tex].

[martin123456]

2
[tex](4a+10b, ab)=d[/tex]. Нека [tex]p \in \mathbb{P}: \hspace{2mm} p|d[/tex]. От [tex]d|ab \Rightarrow p|ab[/tex].
(в предишната задача имаше симетрия, а тук разглеждаме 2 случая)
1) [tex]p|a[/tex]: [tex]d|(4a+10b) \Rightarrow p|(4a+10b) \Rightarrow p|10b[/tex]. [tex](10,a)=1, p|a \Rightarrow (p,10)=1 \Rightarrow p|b \Rightarrow \empty[/tex]
2) [tex]p|b \ldots \Rightarrow p|4a[/tex]. [tex](4,b)=1, p|b \Rightarrow (p,4)=1 \Rightarrow p|a \Rightarrow \empty[/tex].
[tex]\Rightarrow d=1[/tex]

[martin123456]

3
[tex]2^{40}-1 \equiv (-1)^{40} -1 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow 3|(2^{40}-1) && 2^{40}-1 > 3 \Rightarrow 2^{40}-1 \not \in \mathbb{P}[/tex].

[martin123456]

4
10то просто: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 [tex]\Rightarrow 29[/tex]
искаме [tex]4+29=33=a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]. [tex]33=1.33=3.11[/tex].
[tex]33>0, a+b>0 \Rightarrow a-b>0[/tex].
[tex]a+b>a-b \Rightarrow[/tex]
1) [tex]a+b=33, a-b=1 \Rightarrow a=17, b=16 \Rightarrow 33=17^2-16^2[/tex]
2) [tex]\cdots[/tex], понеже вече намерихме представяне

[antipas]

много ти благодаря !