Квадратно, по-квадратно, или кубично?

[Гост]

Ето каква задача не мога да реша.
Задача. a и b са рационални числа, b не е 0, d е цяло число такова, че d≥2 и d не се дели точно на никой точен квадрат на цяло число освен на 1.
А) Има ли алгоритъм, който по числата a, b и d отговаря на въпроса може ли да се намерят такива рационални числа m и n, така че да е изпълнено [tex]a+b\sqrt{d}=(m+n\sqrt{d})^{2}[/tex] ?
Б) Има ли алгоритъм, който по числата a, b и d отговаря на въпроса може ли да се намерят такива рационални числа m и n, така че да е изпълнено [tex]a+b\sqrt{d}=(m+n\sqrt{d})^{3}[/tex] ?
В) Винаги ли съществуват такива рационални числа c, m и n, такива, че [tex]a+b\sqrt{d}=c(m+n\sqrt{d})^{2}[/tex] ?
Г) Винаги ли съществуват такива рационални числа c, m и n, такива, че [tex]a+b\sqrt{d}=c(m+n\sqrt{d})^{3}[/tex] ?
Д) Може ли числото [tex]a+b\sqrt{d}[/tex] да е нула на полином от трета степен с цели коефициенти ?

[peyo]

Ето каква задача не мога да реша.
Задача. a и b са рационални числа, b не е 0, d е цяло число такова, че d≥2 и d не се дели точно на никой точен квадрат на цяло число освен на 1.
А) Има ли алгоритъм, който по числата a, b и d отговаря на въпроса може ли да се намерят такива рационални числа m и n, така че да е изпълнено [tex]a+b\sqrt{d}=(m+n\sqrt{d})^{2}[/tex] ?
Б) Има ли алгоритъм, който по числата a, b и d отговаря на въпроса може ли да се намерят такива рационални числа m и n, така че да е изпълнено [tex]a+b\sqrt{d}=(m+n\sqrt{d})^{3}[/tex] ?
В) Винаги ли съществуват такива рационални числа c, m и n, такива, че [tex]a+b\sqrt{d}=c(m+n\sqrt{d})^{2}[/tex] ?
Г) Винаги ли съществуват такива рационални числа c, m и n, такива, че [tex]a+b\sqrt{d}=c(m+n\sqrt{d})^{3}[/tex] ?
Д) Може ли числото [tex]a+b\sqrt{d}[/tex] да е нула на полином от трета степен с цели коефициенти ?

Колко интересно!
A)
[tex]a+b\sqrt{d}=(m+n\sqrt{d})^{2}[/tex]

[tex]a+b\sqrt{d}=m^2 + 2mn\sqrt{d}+n^2d[/tex]

[tex]a+\sqrt{d}(b - 2mn)=m^2 +n^2d[/tex]

[tex]\sqrt{d}(b - 2mn)=m^2 -a +n^2d[/tex]

[tex]d(b - 2mn)^2=(m^2 -a +n^2d)^2[/tex]

И сега в скобите имаме рационални числа, значи нещо такова:
$ dq^2/r^2=e^2/w^2$

$ dq^2w^2=e^2r^2$

Или нещо такова с цели числа:
$ dt^2=y^2$

$ t=\frac{y}{\sqrt{d}}$

Някъде има доказателство, че квадратния корен на всяко целочислено число което не е точен квадрат е ирационално число.
Тогава горното няма решение, защото d не е точен квадрат и отговора е не съществува алгоритъм.

https://www.quora.com/Are-the-square-roots-of-all-positive-integers-irrational?share=1

[pal702004]

По А) и Б) да, необходимо (но не достатъчно) условие е $a^2-db^2$ да е точен квадрат/куб на рационално число.

По В) Г) Не. Необходимо (и достатъчно) условие за съществуването на такива $c,n,m$ e $a^2-db^2$ да е точен квадрат/куб на рационално число.

Д) Че защо да не може. Това число е нула(корен) на полином от 2-ра степен, разбира се, но какво ни пречи да го направим от 3-та...