Без калкулатор

[KOPMOPAH]

Попаднах на интересна задача.

Стойността на $\log_2 3$ е между:

а)$1\frac 13$ и $1\frac 12~~~~~~~~~~$ б)$1\frac 23$ и $2$

в)$1\frac 12$ и $1\frac 23~~~~~~~~~~$ г)$2$ и $3$

Задачата трябва да се реши без калкулатор, само със силата на мисълта.

[turtlefox]

[tex]\log_2 3 \in (1; 2) \implies 3 \in (2; 4) \\
(\frac{4}{3}; \frac{3}{2}) \implies (16^{\frac{1}{3}}; 2\sqrt{2}) \\
(\frac{5}{3}; 2) \implies (32^{\frac{1}{3}}; 4) \\
(\frac{3}{2}; \frac{5}{3}) \implies (2\sqrt{2}; 32^{\frac{1}{3}}) \\
(2; 3) \implies (4; 8)\\[/tex]
$2\sqrt 2 < 3$, т.е. ако е горна граница няма как $3$ да е в интервала.
$32^{\frac{1}{3}} > 3$, т.е. ако е долна граница няма как $3$ да е в интервала.
Не може да е г) очевидно.
$\implies$ отговора е в)

Проверка: $\log_2 3 \approx 1.58 \in (\frac{3}{2}; \frac{5}{3})$

[Евва]

в) 1[tex]\frac{1}{2}[/tex]=[tex]\frac{3}{2}[/tex]=[tex]log_{2 }[/tex][tex]2^{ \frac{3}{2} }[/tex]=[tex]log_{2 }[/tex][tex]\sqrt{8}[/tex]<[tex]log_{2 }[/tex][tex]\sqrt{9}[/tex]=[tex]log_{2 }[/tex]3

Ще докажем ,че [tex]\sqrt[3]{4}[/tex]>1,5
4>3,375
4>[tex]1,5^{3}[/tex]
[tex]\sqrt[3]{4}[/tex]>1,5

1[tex]\frac{2}{3}[/tex]=[tex]\frac{5}{3}[/tex]=[tex]log_{2 }[/tex][tex]2^{ \frac{5}{3} }[/tex]=[tex]log_{2 }[/tex][tex]\sqrt[3]{ 2^{5} }[/tex]=[tex]log_{2 }[/tex](2.[tex]\sqrt[3]{4}[/tex])>[tex]log_{2 }[/tex](2.1,5)=[tex]log_{2 }[/tex]3

Доказахме ,че 1[tex]\frac{1}{2}[/tex]<[tex]log_{2 }[/tex]3<1[tex]\frac{2}{3}[/tex] .