Теория на числата 1

[Vannia_35]

Докажете ,че 504 е делител на n^3(n^3-1)(n^3+1) за всяко фестествено число

[Jack]

Докажете ,че 504 е делител на n^3(n^3-1)(n^3+1) за всяко фестествено число

Нека $A = n^{3}(n^{3} - 1)(n^{3} + 1)$.

$504 = 2^{3} \times 3^{2} \times 7$

Лесно се доказва, че $A$ се дели на $8$.

Ако $n$ е четно се вижда ясно, че $n^{3}$ се дели на $8$.
Ако $n$ е нечетно $n^{3} - 1$ се дели на $4$, защото използваме Fermat's little theorem. Също $n^{3} + 1$ е четно.

Остана ни да докажем, че $A$ се дели на $9$ и $7$.

$A = n^{3}(n^{6} - 1)$

$n^{6} - 1$ се дели на $7$ пак от Fermat's little theorem.

Остана да докажем, че $9$ е делител на $A$.

$n^{3} - 1, n^{3}, n^{3} + 1$ са $3$ последователни числа [tex]\Rightarrow[/tex] $A$ се дели на $3$.

$(n^{3} - 1)(n^{3} + 1) = (n - 1)(n^{2} + n + 1)(n + 1)(n^{2} - n + 1)$
$(n - 1)(n + 1) = n^{2} - 1$ се дели на $3$ от Fermat's little theorem [tex]\Rightarrow[/tex]

Доказахме, че $A$ се дели на $504$.