Теореми Ферма, Ойлер и Уилсън

[Гост]

Здравейте,моля за помощ за решението на следните задачи ,където α=5,β=1 ,γ=1

Задача1 .Намерете последните две цифри на числото 3^{а} ( 3 на степен а)
където а = 2021(β+1)записано в десетична бройна система).

Задача. 2.Докажете,че числото 504 е делител на n3(n3 − 1)(n3 + 1) за всяко естествено число n.

Задача 3.Решете сравненията:
(à)7x≡β (mod15); (б)10x≡α+β (mod35) ,β=1 , α=5

Задача 4. Решете системата сравенения :α=5,β=1 ,γ=1
x≡3α (mod4)
a) x≡3β (mod7)
x≡5γ (mod9)

x≡2 (mod11)
b) x≡α (mod15)
x≡β (mod9)
x≡5 (mod7)

[peyo]

Задача. 2.Докажете,че числото 504 е делител на n3(n3 − 1)(n3 + 1) за всяко естествено число n.

https://math.stackexchange.com/questions/2158204/prove-that-n3-1n3n3-1-is-divisible-by-504

[katiq_dimitrova]

Здравей,благодаря за отговора . А за другите задачи дали можеш също помощ?

[Mardiana]

Моля за помощ за решение за следните задачи
следните задачи ,където α=1,β=7 ,γ=4

Задача1 .Намерете последните две цифри на числото 3^{а} ( 3 на степен а)
където а = 2023(β+3)записано в десетична бройна система).

Задача. 2.Докажете,че числото 133 е делител на 11(n +2)+12(2n+1 за всяко естествено число n.

Задача 3.Решете сравненията:
(à)7x≡β (mod15); (б)10x≡α+β (mod35) ,β=7 , α=1

Задача 4. Решете системата сравенения :α=1,β=7 ,γ=4
x≡3α (mod4)
a) x≡3β (mod7)
x≡5γ (mod9)

x≡2 (mod11)
b) x≡α (mod15)
x≡β (mod9)
x≡5 (mod7)

[Гост]

Ще помогна на всеки, който освен трите цифри на факултетния номер си даде труда да напише какво е направил по задачата, докъде е стигнал и какво го е затруднило.
Имайте уважение към труда на хората, които помагат тук.

[KOPMOPAH]

Напълно подкрепям колегата по-горе. Мога да добавя и това, че твърде често задачите са написани без никаква мисъл и откровено грешни. Да погледнем

Задача. 2.Докажете,че числото 133 е делител на 11(n +2)+12(2n+1 за всяко естествено число n.

Лесно се проверява, че твърдението е невярно. Предположих, че правилното условие е

Задача 2. Докажете, че числото $133$ е делител на $11^{n +2}+12^{2n+1}$ за всяко естествено число $n$.

Ще го докажем с нещото, наречено "математическа индукция". Проверяваме как е при $n=1$:

$~~~~~~11^{1 +2}+12^{2.1+1}=11^3+12^3=3059=23 \times 133$ - вярно!

Допускаме, че за някакво $n$ твърдението е вярно, $11^{n +2}+12^{2n+1}=133A$. Проверяваме какво става при $n+1$:

$~~~~~~11^{(n+1) +2}+12^{2(n+1)+1}=11.11^{n +2}+144.12^{2n+1}=11.11^{n +2}+11.12^{2n+1}+133.12^{2n+1}=11.133A+133.12^{2n+1}$

Получихме сума, в която и двете събираеми са кратни на $133$, така че на нея не ѝ остава нищо друго освен и тя да е кратна на $133$

Скрит текст: покажи

Разбира се, има решение само със средствата от теория на числата, но ще оставя колегите, които са вещи в тази област и сметнат, че е редно - да се произнесат

[Гост]

Задача 4. Решете системата сравнения :α=3,β=3 ,γ=9
x≡3α (mod4)
x≡3β (mod7)
x≡5γ (mod9)

x≡2 (mod11)
x≡α (mod15)
x≡β (mod9)
x≡5 (mod7)
може ли за помощ, поне за едното
да видя как става и да си реша и другото

[Гост]

Намерете последните две цифри на числото 3^2023(3+3) (записано в десетична бройна система)
може ли да помогнете с тая задача

[peyo]

Намерете последните две цифри на числото 3^2023(3+3) (записано в десетична бройна система)
може ли да помогнете с тая задача

Sure!

In [83]: import sys

In [84]: sys.set_int_max_str_digits(10000)

In [85]: str(3**(2023*(3+3)))[:2]
Out[85]: '19'

[pal702004]

Намерете последните две цифри на числото 3^2023(3+3) (записано в десетична бройна система)
може ли да помогнете с тая задача

Мога: (3+3)=6.

[Гост]

3^2023(3+3) = 987300934904987533769030347417799168700440254531610359228929887054345551386163962080174005566729721987920622579854185480808476873256787757475206431727099552388302328516677495693186406447800405629821128632495195797700564258409910125809060238542938273040872753127091439009750757492584838854899155858650033023677232071403238705263266556478484801743981892260620729653545719614764874675515653290531401151140312432735811086435978810747248840930221631977169486325163356842222091927532046541503570977525290880920551126130794566746738096952714479836340680806724874933068156157945947968114649412289709963906088474428149371750396828268079490642860830355467537415508030853077349195373870344658170977918249812159151587949538008480813628027752013299013392067924844874053907065687135038407059335765852666106237165999058232794753847672221762423459121274268217725839576536766765985456716152139154005987684656496212086670318549205795258358622099043201784535458049590954854530782352962

[Гост]

3^2023(3+3) = 987300934904987533769030347417799168700440254531610359228929887054345551386163962080174005566729721987920622579854185480808476873256787757475206431727099552388302328516677495693186406447800405629821128632495195797700564258409910125809060238542938273040872753127091439009750757492584838854899155858650033023677232071403238705263266556478484801743981892260620729653545719614764874675515653290531401151140312432735811086435978810747248840930221631977169486325163356842222091927532046541503570977525290880920551126130794566746738096952714479836340680806724874933068156157945947968114649412289709963906088474428149371750396828268079490642860830355467537415508030853077349195373870344658170977918249812159151587949538008480813628027752013299013392067924844874053907065687135038407059335765852666106237165999058232794753847672221762423459121274268217725839576536766765985456716152139154005987684656496212086670318549205795258358622099043201784535458049590954854530782352962

Това цялото трябва да го препиша и за отговор да дам 62 така ли

[Гост]

x≡2 (mod11)
x≡3 (mod15) - 3 и 5
x≡3 (mod9)
x≡5 (mod7)
Гледах горни решения, като mod 9 и mod 15 не са прости

x≡2 (mod 11)
x≡3 (mod 3)
х≡3 (mod 5)
x≡3 (mod9)
x≡5 (mod7)
И ако може сега някой да ми помогне с решение

[grav]

Намерете последните две цифри на числото 3^2023(3+3) (записано в десетична бройна система)
може ли да помогнете с тая задача

Това в скобите какво е? Част от степентта? Множител? Нещо друго?

[Гост]

Намерете последните две цифри на числото 3^2023(3+3) (записано в десетична бройна система)
може ли да помогнете с тая задача

Това в скобите какво е? Част от степентта? Множител? Нещо друго?

В скобите е част от степента или 2023*6=12138
Така се получава израз 3 на степен 12138

[pal702004]

В скобите е част от степента или 2023*6=12138
Така се получава израз 3 на степен 12138

Покорно благодаря че благоволихте. А това (3+3) бяха цифри на факултетен номер, или греша? Можехте да ни го спестите. Та така

$3^{20} \equiv 1 \pmod {100}$

1. Докажете го.
2. Използвайте го.

Ако нищо не разбирате от това, което съм написал - не се занимавайте въобще.

[Гост]

[quote="Гост"]x≡2 (mod11)
x≡3 (mod15) - 3 и 5
x≡3 (mod9)
x≡5 (mod7)
Гледах горни решения, като mod 9 и mod 15 не са прости

x≡2 (mod 11)
x≡3 (mod 3) [tex]\Rightarrow[/tex] 0
х≡3 (mod 5)
x≡3 (mod9)
x≡5 (mod7)
Никой ли не може да ми помогне с тоя пример

[Гост]

В скобите е част от степента или 2023*6=12138
Така се получава израз 3 на степен 12138

Покорно благодаря че благоволихте. А това (3+3) бяха цифри на факултетен номер, или греша? Можехте да ни го спестите. Та така

$3^{20} \equiv 1 \pmod {100}$

1. Докажете го.
2. Използвайте го.

Ако нищо не разбирате от това, което съм написал - не се занимавайте въобще.

$3^{40} \equiv 1 \pmod {100}$
12 138 = 40 * 303 = 12 120 остава 18
$3^{18} \equiv 1 \pmod {100}$
е равно на 89 защото 3^5 = 43 mod 100 3^6 = 29 mod 100 и като повдигна на трета степен става 3^18 = 89
правилно ли е

[Гост]

В скобите е част от степента или 2023*6=12138
Така се получава израз 3 на степен 12138

Покорно благодаря че благоволихте. А това (3+3) бяха цифри на факултетен номер, или греша? Можехте да ни го спестите. Та така

$3^{20} \equiv 1 \pmod {100}$

1. Докажете го.
2. Използвайте го.

Ако нищо не разбирате от това, което съм написал - не се занимавайте въобще.

$3^{40} \equiv 1 \pmod {100}$
така ако степента я повдигнем на 303 става
12 138 = 40 * 303 = 12 120 остава 18
$3^{18} \equiv 1 \pmod {100}$
е равно на 89 защото 3^5 = 43 mod 100 3^6 = 29 mod 100 и като повдигна на трета степен става 3^18 = 89
правилно ли е

[pal702004]

$89$ е правилният отговор.