Да се докаже, че m дели n

[mkmarinov]

... ако за две взаимно прости естествени числа a и b важи: [tex]a^m+b^m / a^n+b^n[/tex]
(м и н са естествени)

[martin123456]

Нека [tex]p \in \mathbb{P}[/tex], [tex]p^{\alpha}|(a^m+b^m) \Rightarrow a^m \equiv -b^m (mod p^{\alpha})[/tex], където [tex]\alpha[/tex] е най-високата степен на [tex]p[/tex] с това свойство.
Нека [tex]n = mq +r[/tex], [tex]0 \le r < m[/tex].
От [tex](a^m+b^m)|(a^n+b^n) \Rightarrow p^{\alpha}|(a^n+b^n) \Rightarrow a^n+b^n \equiv 0 (mod p^{\alpha}) \Rightarrow a^{mq+r}+b^{mq+r} \equiv 0 (mod p^{\alpha})[/tex] [tex]\Rightarrow a^{mq+r}+(b^m)^q.b^r \equiv a^{mq+r}+(-a^m)^q.b^r \equiv 0 (mod p^{\alpha}) \Rightarrow a^r + (-1)^q b^r \equiv 0 (mod p^{\alpha})[/tex]. Тъй като последното е изпълнено за всяко гореописано [tex]p[/tex] и [tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow (a^m+b^m)|(a^r + (-1)^q b^r )[/tex].
Но [tex]|a^r + (-1)^q b^r | \le |a^r|+|b^r| < a^m+b^m[/tex] [tex]\Rightarrow a^r + (-1)^q b^r = 0 \Rightarrow (q,2)=1[/tex] и [tex]a^r=b^r \Rightarrow r=0[/tex].