Линейни сравнения и система сравнения

[Гост]

Здравейте, можете ли да проверите дали са вярни решенията на следните задачи:
1. 7x=5 (mod 15)
2. 10x=13 (mod 35)
3. Система: x≡21 (mod 4); x≡15 (mod 7); x≡10 (mod 9)
4. За тази система до колкото видях решени подобни задачи май няма да има решение x≡2 (mod 11); x≡7 (mod 15); x≡5 (mod 9); x≡5 (mod 7)
Решения:
1. 7x=5 (mod 15) /.13
91x=65 (mod 15)
x=5 (mod 15)

2. 10x=13 (mod 35)/.5
50x=65 (mod 35)
15x=30 (mod 35)
x=2 (mod 35)

3. x≡1 (mod 4)
x≡1 (mod 7)
x≡1 (mod 9) [tex]\Rightarrow[/tex] x≡1 (mod 252)

4. x≡2 (mod 11)
x≡2 (mod 5)
x≡1 (mod 3)
x≡5 (mod 9)
x≡5 (mod 7)

x≡1 (mod 3) и x≡5 (mod 9) [tex]\Rightarrow[/tex] противоречие

Благодаря предварително!

[vezni]

2. 10x=13 (mod 35)/.5
50x=65 (mod 35)
15x=30 (mod 35)
x=2 (mod 35)

Първо, като умножиш по $5$ получаваш нееквивалентно сравнение (понеже $(5,35)\ne 1$), което съдържа чужди решения.
Второ, не си разделил правилно на $15$: $15x\equiv 30\pmod{35}\Leftrightarrow x\equiv 2\pmod{\frac{35}{(35,15)}=7}$.
А всъщност първоначалното няма решения: $10x\equiv 13\pmod{35}\Rightarrow 0\equiv 13\pmod{5}$, противоречие.

3. x≡1 (mod 4)
x≡1 (mod 7)
x≡1 (mod 9) [tex]\Rightarrow[/tex] x≡1 (mod 252)

Вярно е, но не е зле да се отбележи, че следва от $(4,7)=(7,9)=(4,9)=1$.

[Гост]

Благодаря! Да, не бях сигурна за това сравнение, защото не ми излизаше проверката. Това значи ли, че ако a<n, при ах=b (mod n), то сравнението няма решение? Може и да го има като правило, но да съм го пропуснала.

[Гост]

Оказа се, че съм объркала условието на едното сравнение и е 10x[tex]\equiv[/tex]12 (mod 35), но пак май няма решение. Стигам до
5x[tex]\equiv[/tex]6 (mod 35)
Няма такова число, което умножено по 5 да даде число, което не завършва на 5 или 0 и съответно няма как при изваждане на 35.k да остане остатък 6. Но не знам как да го запиша това.

[vezni]

Благодаря! Да, не бях сигурна за това сравнение, защото не ми излизаше проверката. Това значи ли, че ако a<n, при ах=b (mod n), то сравнението няма решение?

Не, не е вярно това. Например при $a=1$ винаги има решение. Правилото е, че ако $(a,n)$ не дели $b$, то няма решение.

Оказа се, че съм объркала условието на едното сравнение и е 10x[tex]\equiv[/tex]12 (mod 35) ... Но не знам как да го запиша това.

По същия начин се показва, че няма решение, както съм направил по-горе. Или ползваш това правило.

[Гост]

10x ≡ 6 (mod 35)
може ли да ми помогнете