Да се намерят всички двойки прости числа p и q

[Гост]

Да се намерят всички двойки прости числа p и q , такива че числата A =7p+q и B =pq +11 също са прости числа .

[pal702004]

По модул 2 и 3 решенията са $p=2,q=3;\;\;p=3,q=2$

[Гост]

По модул 2 и 3 решенията са $p=2,q=3;\;\;p=3,q=2$

А може ли малко обяснение?

[Jack]

По модул 2 и 3 решенията са $p=2,q=3;\;\;p=3,q=2$

А може ли малко обяснение?

С други думи $pq + 11$ трябва да е просто число. Всички прости числа се нечетни освен $2$. Очевидно $pq + 11$ е по-голямо от $2$ [tex]\Rightarrow[/tex] $pq + 11$ е нечетно число.

Както може би вече се досещаш "нечетно число = четно число + нечетно" [tex]\Rightarrow[/tex] $pq$ е четно [tex]\Rightarrow[/tex] $p$ или $q$ е $2$

Ако $p = 2$:
$A = 7p + q = 7 \times 2 + q = 14 + q$
$B = 2q + 11$

От тук разглеждам числа $q$, които дават остатък $0, 1$ или $2$.
Първи случай - $q = 3k + 2$
$B = 2(3k + 2) + 11 = 6k + 4 + 11 = 6k + 15 = 3(2k + 5)$ [tex]\Rightarrow[/tex] $q$ не дава остатък $2$ при делене на $3$

Втори случай - $q = 3k + 1$
$A = 14 + q = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5)$ [tex]\Rightarrow[/tex] $q$ не дава остатък $1$ при делене на $3$

Трети случай - $q = 3k$
Единственото просто число, което се дели на $3$ е $3$. Проверяваме $A = 14 + 3 = 17$ и $B = 2 \times 3 + 11 = 17$. $17$ е просто число [tex]\Rightarrow[/tex] едно решение е $p = 2, q = 3$.

Ако $q = 2$:
$A = 7p + 2$
$B = 2p + 11$

От тук разглеждам числа $p$, които дават остатък $0, 1$ или $2$.
Първи случай - $p = 3k + 2$
$B = 2p + 11 = 2(3k + 2) + 11 = 6k + 4 + 11 = 6k + 15 = 3(2k + 5)$ [tex]\Rightarrow[/tex] $q$ не дава остатък $2$ при деление на $3$

Втори случай - $p = 3k + 1$
$A = 7p + 2 = 7(3k + 1) + 2 = 21k + 7 + 2 = 21k + 9 = 3(7k + 3)$ [tex]\Rightarrow[/tex] $q$ не дава остатък $1$ при деление на $3$

Трети случай - $p = 3k$
Единственото просто число, което се дели на $3$ е $3$. Проверяваме $A = 21 + 2 = 23$ и $B = 6 + 11 = 17$. $17$ и $23$ са прости числа [tex]\Rightarrow[/tex]

Отг. $(p; q) = (2; 3), (3; 2)$

[Гост]

(à) 7x ≡ 4 (mod 22); (á) 10x ≡ 8 + 4 (mod 45).