Задача от системи уравнения

[Гост]

Здравейте, сина ми има нужда от помощ с домашното, а аз май съм позабравила как се решаваха тези системи, ще се радвам ако някой ми помогне, за да ога да ги обясня и на него:

Решете системите уравнения
а) х=6 (мод 4)
х=3 (мод 7)
х=10 (мод 9)
пиша със знак равно за по - лесно, иначе си е с трите черти

б) x=2 (mod 11)
x=2 (mod 15)
x= 1 (mod 9)
x=5 (mod 7)

[ammornil]

[tex]\begin{array}{|l} x \equiv 6 (mod 4) \\ x \equiv 3 (mod 7) \\ x \equiv 10 (mod 9)\end{array}, x= ?[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]НОК(4,7,9)=252[/tex]

[tex]\hspace{3em} (1\#) x \equiv 6 (mod 4) \Rightarrow x = 4z + 6, \hspace{1em} z \in Z[/tex]
[tex](1\#) \rightarrow x = 4z + 6[/tex]
[tex]\hspace{3em} (2\#) x \equiv 3 (mod 7) \Rightarrow 4z + 6 \equiv 3 (mod 7)\Leftrightarrow 4z + 6 -6 \equiv 3 -6 (mod 7) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\hspace{6em} \Leftrightarrow 4z \equiv -3 (mod 7) \Leftrightarrow 4z +7 \equiv -3 +7 (mod 7) \Leftrightarrow 4z \div 4 \equiv 4 \div 4 \>(mod 7 \div \> \text{НОД}(7,4)) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\hspace{6em} \Leftrightarrow z \equiv 1 (mod 7) \Rightarrow z=7w+1, \hspace{1em} w\in Z[/tex]
[tex](2\#) \rightarrow x=4(7w+1)+6 = 28w+10[/tex]
[tex]\hspace{3em} (3\#) x \equiv 10 (mod 9) \Leftrightarrow x \equiv 1 (mod 9) \Rightarrow 28w+10 \equiv 1 (mod 9) \Leftrightarrow 28w+10 -10 \equiv 1 -10 (mod 9) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\hspace{6em} \Leftrightarrow 28w \equiv -9 (mod 9) \Leftrightarrow (28 -3\cdot{9})w \equiv -9 +9 (mod 9) \Leftrightarrow w \equiv 0 (mod 9) \Leftrightarrow w = 9v, \hspace{1em} v \in Z[/tex]
[tex](3\#) \rightarrow x=28\cdot{9v}+10=252v + 10[/tex]
Най-малкото положително решение на системата е за [tex]v=0 \Rightarrow x=10[/tex]

[ammornil]

В случай, че синът Ви няма налични лекции по темата, ето най-общо еквивалентните преобразувания за конгруенции:

[tex]x \in Z; y \in Z; m \in Z; d \in Z[/tex]

$$ x \equiv y (mod\hspace{0.5em}m) \hspace{2em} \Leftrightarrow \hspace{2em} x = k\cdot{m} + y, \hspace{0.5em} \forall k \in Z $$
$$a\cdot{x} \equiv b\cdot{y} \hspace{0.5em}(mod\hspace{0.5em}m) \hspace{2em} \Leftrightarrow a\cdot{x} \pm d \equiv b\cdot{y} \pm d \hspace{0.5em}(mod\hspace{0.5em}m)$$
$$a\cdot{x} \equiv b\cdot{y} \hspace{0.5em}(mod\hspace{0.5em}m) \hspace{2em} \Leftrightarrow (a \pm k\cdot{m})x \equiv b\cdot{y}\hspace{0.5em} (mod\hspace{0.5em}m), \hspace{0.5em} \forall k \in Z $$
$$a\cdot{x} \equiv b\cdot{y} \hspace{0.5em}(mod\hspace{0.5em}m) \hspace{2em} \Leftrightarrow ax \equiv (b \pm k\cdot{m})\cdot{y}\hspace{0.5em} (mod\hspace{0.5em}m), \hspace{0.5em} \forall k \in Z $$
$$d\cdot{x} \equiv d\cdot{y} \hspace{0.5em}(mod\hspace{0.5em}m) \hspace{2em} \Leftrightarrow d\cdot{x} \div d \equiv d\cdot{y} \div d\hspace{0.5em} (mod\hspace{0.5em}m\div \text{НОД}(m, d)) \hspace{2em} \Leftrightarrow x \equiv y (mod\hspace{0.5em}m\div \text{НОД}(m, d))$$

[tex]\text{НОД}(m, d) \rightarrow \text{ най-голям общ делител на числата } m \text{ и } d[/tex]