теирия на числата

[ch_ascha@abv.bg]

Моля за помощ, за следните задачи:

1. намерете последните две цифри на числото 3^2209012774.
2. Да се докаже, че 2^9-2^3 е делител на n^9-n^3, за всяко естествено число n.
3.Представете числото 111...1222...2 като произведение на две последователни естествени числа.
1988 1988
4. Решете сравненията 7x≡7 (mod 22); 10x≡14 (mod 45)

5. Решете системата сравнения x≡21 (mod 4), x≡28 (mod 7), x≡20 (mod 9);
Решете системата сравнения x≡3 (mod 11), x≡7 (mod 15), x≡7 (mod 9), x≡5 (mod 7).

[Гост]

От каква помощ се нуждаеш?

[ch_ascha@abv.bg]

Колкото и нескромно да прозвучи, решения на задачите.

[peyo]

Моля за помощ, за следните задачи:

1. намерете последните две цифри на числото 3^2209012774.
2. Да се докаже, че 2^9-2^3 е делител на n^9-n^3, за всяко естествено число n.
3.Представете числото 111...1222...2 като произведение на две последователни естествени числа.
1988 1988
4. Решете сравненията 7x≡7 (mod 22); 10x≡14 (mod 45)

5. Решете системата сравнения x≡21 (mod 4), x≡28 (mod 7), x≡20 (mod 9);
Решете системата сравнения x≡3 (mod 11), x≡7 (mod 15), x≡7 (mod 9), x≡5 (mod 7).

3. е тук https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=49&t=31885

[ch_ascha@abv.bg]

Благодаря

[peyo]

1. намерете последните две цифри на числото 3^2209012774.

Ще решим задачата по метода на математическото забелязване.

Това ще е нещо периодично. Да видим:

Код: Избери целия код

In [28]: for a in range(1,200):
    ...:     print(str(3**a)[-2:], end = ",")
    ...:

3,9,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01,03,09,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,

Забелязваме, че редицата от 20 числа 3,9,27,81,43,29,87,61,83,49,47,41,23,69,07,21,63,89,67,01 се повтаря.

Значи
$3^{2209012774} \equiv 3^{2209012774\ \%\ 20} = 3^{14}$

In [30]: 3**14
Out[30]: 4782969

[Гост]

Здравейте, намерихте ли решението на задача 2?
Ще съм ви безкрайно благодарна,ако го споделите.

[Гост]

Здравейте, намерихте ли решението на задача 2?
Ще съм ви безкрайно благодарна,ако го споделите.

29-page-001.jpg (233.38 KiB) Прегледано 1467 пъти

[Гост]

Безкрайно благодаря!

[peyo]

Здравейте, намерихте ли решението на задача 2?
Ще съм ви безкрайно благодарна,ако го споделите.

29-page-001.jpg

Това е сложно и дълго доказателство и използва оператора mod, въвеждането на който ядоса много хора и е широко прието като лош ход. Да видим дали не можем да намерим по-лесно доказателство, може би с рекурсия?!

Започваме от $a_9$ (9 e най-голямата степен)
In [409]: a_9 = n**9 - n**3

Проверяваме:

In [426]: 2**9-2**3
Out[426]: 504

In [410]: a_9.subs(n,2)%504
Out[410]: 0

След като е вярно за едно n в случая 2, остава да докажем, че ако е вярно за n и е вярно за n+1, то е вярно за всяко n.

In [411]: a_8 = expand( a_9.subs(n,n+1) - a_9)

In [412]: a_8
Out[412]: 9*n**8 + 36*n**7 + 84*n**6 + 126*n**5 + 126*n**4 + 84*n**3 + 33*n**2 + 6*n

Какво направихме по-горе? Сложихме n+1 вместо n и извадихме а_9, защото то вече се дели на 504. Това което остана е достатъчно да докажем, чче се дели на 504 и задачата ще е решена.

In [413]: a_8.subs(n,2)%504
Out[413]: 0

Имаме n=2 което се дели на 504. Значи остава да докажем, че за n+1 $а_8$ също се дели на 504.

In [414]: a_7 = expand( a_8.subs(n,n+1) - a_8)

In [415]: a_7
Out[415]: 72*n**7 + 504*n**6 + 1764*n**5 + 3780*n**4 + 5208*n**3 + 4536*n**2 + 2280*n + 504

In [416]: a_7.subs(n,2)%504
Out[416]: 0

Cool, cool, cool. Продължаваме по същия начин надолу по степените!

In [417]: a_6 = expand( a_7.subs(n,n+1) - a_7)

In [418]: a_6
Out[418]: 504*n**6 + 4536*n**5 + 18900*n**4 + 45360*n**3 + 65016*n**2 + 52164*n + 18144

In [419]: a_6/504
Out[419]: n**6 + 9*n**5 + 75*n**4/2 + 90*n**3 + 129*n**2 + 207*n/2 + 36

In [420]: # so close !!!!!!!!

In [421]: a_6.subs(n,2)%504
Out[421]: 0

In [422]: a_5 = expand( a_6.subs(n,n+1) - a_6)

In [423]: a_5
Out[423]: 3024*n**5 + 30240*n**4 + 131040*n**3 + 302400*n**2 + 367416*n + 186480

In [424]: a_5/504
Out[424]: 6*n**5 + 60*n**4 + 260*n**3 + 600*n**2 + 729*n + 370

In [425]: # TADAAAAAAAAAAAAAAAAA

Стигнахеме до полином на който всички коефицентои се делят на 504 и така решихме задачата.