Теорема на Ферма, задача

[Гост]

Здравейте, моля за помощ със следната задача:
Да се намерят всички двойки (p, n), където p е просто число, а n е естествено число, за които:
а) [tex]p^{2 }[/tex] дели [tex]11^{p^2 }[/tex] - 1
b) [tex]p^{n }[/tex] дели [tex]10^{p^n }[/tex] - 1

Благодаря предварително!

[pal702004]

$a^{p^n} = a\cdot a^{p^n-1} $

И понеже $p^n-1$ се дели на $p-1$, то съгласно малката теорема на ферма $a^{p^n-1} \equiv 1 \pmod p$

Или $a^{p^n}-1 \equiv a-1 \pmod p$. Тоест, $a-1$ трябва да се дели на $p$. В първия случай кандидатите са 2 и 5, във вторият - 3.

Всички минават, понеже съгласно LTE

$v_p(a^k-1)=v_p(a-1)+v_p(k)$ за нечетно $p$, което означава, че в първият случай $5^3 \mid (11^{25}-1)$ и $2^4 \mid (11^4-1)$

А за вторият - че $10^{3^n}-1$ се дели на $3^{n+2}$

И в двата случая имаме делимост на по-голяма степен на простите от необходимото в условието.

Ако не може с LTE (макар че се доказва лесно), първият случай може да се докаже директно, вторият - с индукция.

[Гост]

Много благодаря!