Уравнение с прости числа

[ToZero]

Намерете всички възможни стойности на простите числа $p, q, r, r\geq 3$, така, че $\frac{p}{p-1} + \frac{q-1}{q} = \frac{2 r}{r-2}$.

[ammornil]

Намерете всички възможни стойности на простите числа $p, q, r, r\geq 3$, така, че $\frac{p}{p-1} + \frac{q-1}{q} = \frac{2 r}{r-2}$.

$\\[24pt] 1 +\dfrac{1}{p-1} +1 -\dfrac{1}{q}= \dfrac{2r}{r-2} \\[6pt] \dfrac{1}{p-1} -\dfrac{1}{q}= \dfrac{2r}{r-2} -2 \\[6pt] \dfrac{1}{p-1} -\dfrac{1}{q}= \dfrac{4}{r-2} \\[6pt] \dfrac{1}{q}= \dfrac{r -2 -4p +4}{(p-1)(r-2)} \\[6pt] q= \dfrac{(p-1)(r-2)}{r -4p +2}\\[6pt] \begin{array}{rcl} p=2 &\Rightarrow& q=\dfrac{r-2}{r -6} &, r>6 \\ &r=7& \boxed{ \quad q=5 \quad } \\ &r>7 & \rightarrow q<2 \\[6pt] p=3 &\Rightarrow & q= \dfrac{2(r-2)}{r-10} &, r>10 \\ & r=11 & q=18 \notin{}\text{Д}q \\ &r= 13 ... 541 & q\notin{}Z^{+} \\ &r\to{}\infty&q\to{}2 \\[6pt] p=5 & \Rightarrow & q=\dfrac{4(r-2)}{r -18}& , r>18 \\ &r=19&q=68 \notin{}\text{Д}q \\ & r= 21 ... 541 & q \notin{}Z^{+} \\ &r\to{}\infty&q\to{}4 \\[6pt] \cdots & \vdots & \vdots \end{array}$ $$ (p, q, r) = (2, 5, 7) $$ Не виждам как да докажа, че няма други решения някъде сред по-големите прости числа. Може би има теорема за която не се сещам.

Скрит текст: покажи

(*) p=3, проверка дали има самопрости решения за първите сто самопрости стойности на r (r>10):$\\[6pt]$

Код: Избери целия код

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True


def check_expression_is_prime(prime_list):
    results = []
    for p in prime_list:
        if p > 10:
            expression_value = (2 * (p - 2)) / (p - 10)
            if expression_value.is_integer() and is_prime(int(expression_value)):
                results.append((p, int(expression_value)))
    return results


first_100_primes_ge11 = [
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163,
    167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,
    349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541
]

prime_results = check_expression_is_prime(first_100_primes_ge11)
prime_results


(**) p=5, проверка дали има самопрости решения за първите сто самопрости стойности на r (r>18):$\\[6pt]$

Код: Избери целия код

def is_prime(n):
    if n <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True


def check_expression_is_prime_for_greater_than_18(prime_list):
    results = []
    for p in prime_list:
        if p > 18:
            expression_value = (4 * (p - 2)) / (p - 18)
            if expression_value.is_integer() and is_prime(int(expression_value)):
                results.append((p, int(expression_value)))
    return results


first_100_primes_ge18 = [
    19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163,
    167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,
    349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541]

prime_results_18 = check_expression_is_prime_for_greater_than_18(first_100_primes_ge18)
prime_results_18


[pal702004]

Не виждам как да докажа, че няма други решения някъде сред по-големите прости числа. Може би има теорема за която не се сещам.

$q= \dfrac{(p-1)(r-2)}{r -4p +2}$

Теоремата е, че не могат и трите числа да са нечетни.

[tryagainD]

Първо от условието p ,q, r[tex]\ge[/tex]3 следва, че p, q и r са нечетни.

След като приведем под общ знаменател и после умножим на кръст получаваме:
(2pq - (p + q) + 1).(r - 2)=2rq(p - 1), но 2pq очевидно е четно както и p + q, съответно и разликата им е четно число.
Тогава 2pq - (p + q) + 1 ще е нечетно, а r - 2 е нечетно, т.е. от лявата страна получаваме (нечетно).(нечетно)
От дясната страна 2 е четно, rq е нечетно и p - 1 е четно, т.е. от дясно имаме накратко (четно).(нечетно).(четно)

=> Уравнението придобива вида (нечено).(нечетно)=2.(нечетно).(четно), което е невъзможно, защото (нечетно).(нечетно) винаги е нечетно
=> Уравнението няма решение за p, q, r [tex]\ge[/tex] 3.

[pal702004]

tryagainD, прочетете внимателно условието.

простите числа $p,q,r,r \ge 3$

Обърнете внимание, че условието $\ge 3$ се отнася само за $r$ (нормално, защото $r-2$ е в знаменател, и не може $r=2$)

Разсъжденията ви са верни, откъдето следва, че или $p=2$, или $q=2$.