Много двойки и една петица

[ToZero]

Намерете всички квадрати на цяло число, записани в десетичната бройна система с една цифра $5$ и с $n$ на брой двойки, където $n$ е естествено число.

[peyo]

Намерете всички квадрати на цяло число, записани в десетичната бройна система с една цифра $5$ и с $n$ на брой двойки, където $n$ е естествено число.

(Имам подозрение, че не разбрах условието.)

In [152]: 52**2
Out[152]: 2704

In [153]: 522**2
Out[153]: 272484

In [154]: 5222**2
Out[154]: 27269284

In [155]: 52222**2
Out[155]: 2727137284

In [156]: 522222**2
Out[156]: 272715817284

$d = 5*10^n + 2*(10^n -1)/9 = \frac{47 \cdot 10^{n}}{9} - \frac{2}{9}$

$d^2 = \frac{2209 \cdot 10^{2 n}}{81} - \frac{188 \cdot 10^{n}}{81} + \frac{4}{81} $

[ToZero]

(Имам подозрение, че не разбрах условието.)

Петицата може да бъде на произволно място, например 222522, 522, 25, 2222252222222222222222 и.т.н.

[ToZero]

Самото число трябва да е точен квадрат, не съм формулирал добре условието, за което се извинявам.

[ptj]

Числото може да се предстви като :

[tex]2. \frac{10^{n+1}-1}{10-1}+3.10^k=t^2[/tex], където [tex]k[/tex] е позицията на 5-цата.

[tex]2.10^{n+1}-27.10^k-2=9t^2[/tex]

[tex]10^k(2.10^{n+1-k} -27)-2 =9t^2[/tex]

При [tex]k \ge1[/tex] числото от ляво завършва на 8, a това за дясната страна следва [tex]t^2\equiv 2 (pmod 10)[/tex].
Последното сравнение няма решение в естествени числа.

Остава само случя [tex]k=0[/tex], т.е. числото е точен квадрат на

[tex](10x+5)^2=100x(x+1)+25[/tex]

Мога да кажа само, че 25 е решение.

За число състоящо се само n на брой двойки и една петица след тях, не се сещам как да се изследва дали е точен квадрат.

[pal702004]

Квадратите на две не завършват, така че

$2\cdot \dfrac{10^n-1}{9}+3=\square$

$\dfrac{2\cdot 10^n-2+27}{9}=\square \Longrightarrow$

$2\cdot 10^n+25=(5x)^2 \;\;\; (:5)$

$2^{n+1}\cdot 5^{n-2}+1=x^2$

$x=2y+1 \Longrightarrow$

$2^{n-1}\cdot 5^{n-2}=y(y+1)$

Множителите в дясната част са взаимнопрости,един от тях трябва да е равен на $2^{n-1}$, а другия - на $5^{n-2}$

При $n=2$ имаме решение, при $n=3$ имаме решение.

При $n \ge 4, \;\;\; 5^{n-2}-2^{n-1}>1$ и няма решения.

Значи само $25$ и $225$ са квадрати