Търсят се двойките

[Гост]

Да се намерят всички двойки p и n, където p e просто число, а n е естествено число, за които : две задачи
p^2 дели 11 на степен pна степен 2 - 1

И

p на степен n дели 10 на степен p на степен n - 1

[ammornil]

Да се намерят всички двойки p и n, където p e просто число, а n е естествено число, за които : две задачи
p^2 дели 11 на степен pна степен 2 - 1

И

p на степен n дели 10 на степен p на степен n - 1

$\\[12pt]\quad$Нещо не схващам кое къде е в реда на операциите. Можете ли да прикачите снимка на оригиналното условие или да уточните дали някое от посочените условия е вярно?$\\[12pt] p\in{\mathbb{P}}, \quad n\in{\mathbb{N}}\\[6pt] \boxed{1A}\quad p=? \quad p^{2} | 11^{p^{2}}-1 \\[6pt] \boxed{1B}\quad p=? \quad p^{2} | 11^{p^{2}-1}\\[6pt] \boxed{2A}\quad p=?, n=? \quad p^{n}|10^{n}-1 \\[6pt] \boxed{2B}\quad p=?, n=? \quad p^{n}|10^{n-1}$

[Гост]

Това е условието. Предварително благодаря!

[ammornil]

$11^{p^{2}}\equiv 1 (\mod{p^{2}})$ Прочетете за Wieferich prime, база 11 са само две: 2 и 5.

[pal702004]

$p \ne 11$

$11^{p^2}=11\cdot 11^{p-1}\cdot 11^{p(p-1)}\equiv 11\cdot 1 \cdot 1 \pmod p$

$11\equiv 1 \pmod p \Longrightarrow p \in \{2,5\}$

И в двата случая условието е изпълнено

$4 \mid 11^4-1=(11^2-1)(11^2+1)$

Съгласно LTE $v_5(11^{25}-1)=v_5(11-1)+v_5(25)=3$

Тоест $5^3 \mid 11^{25}-1$

Само не разбирам къде тук е $n$

[pal702004]

А, видях, в подточка б. Ами аналогично, за да се дели на $p^n$ необходимо е да се дели първо на $p$

$10^{p^n}=10\cdot 10^{p^n-1}$

И пoнеже $p^n-1$ се дели на $p-1$, то $10^{p^n} \equiv 10 \pmod p$

$10 \equiv 1 \pmod p \Longrightarrow p=3$

И отново LTE

$v_3(10^{3^n}-1)=v_3(10-1)+v_3(3^n)=2+n$

Даже с горница, тоест

$\forall n\quad 3^{n+2} \mid 10^{3^n}-1$

[Гост]

Сърдечно благодаря за първата, бих помолила и за втората да ми помогнете.

[pal702004]

е помогнах...