Сборът от делителите да е нечетно число

[ammornil]

Да се докаже, че кое да е положитлно цяло число има нечетна сума на делителите си ако и само ако това число е точен квадрат или удвоен точен квадрат. Да се намери първото такова число, което е по-голямо от 2025.

[pal702004]

Функцията сбор на делителите е мултипликативна, т.е за взаимнопрости $a,b$

$\sigma(ab)=\sigma(a) \sigma (b)$.

И за да е нечетно произведението, трябва всички тези "сигми" да са нечетни

в каконичен вид $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_k^{a_k}$

$\sigma(p^a)=1+p+p^2+\ldots+p^a$

При $p=2$ тази сума винаги е нечетна, така че степента на 2 не е от значение, но при нечетно просто $p$ броят на събираемите трябва да е нечетен, тоест, $a$ да е четно. Или, всички нечетни прости делители на $n$ трябва да са в четна степен. Тоест, да е квадрат или удвоен квадрат (в зависимост на степента на 2-дали е четна или нечетна).

$2025$ си е квадрат, $2048=2^{11}$ е доста близо трябва да е следващото.

[ammornil]

$\\[2pt]\quad$Моята логика е по-интуитивна (простовата ).$\\[2pt]\quad$Всяко число има определен брой двойки делители, чието произведение дава това число. Ако числото е точен квадрат, едната двойка делители е съставена от едно и също число, което значи че точните квадрати имат нечетен брой уникални делители, а останалите числа имат четен брой уникални делители.$\\[2pt]\quad$За да бъде сумата от делителите дадено число с нечетна стойност, това число трябва да има нечетен брой нечетни делители.$\\[2pt]\quad$Ако разгледаме кое да е нечетно число. То има само нечетни делители, и съгласно горните разсъждения, те ще са нечетен брой само ако това число е точен квадрат. Тоест, едно нечетно число има нечетна сума от делителите само ако е точен квадрат.$\\[2pt]\quad$Ако разгледаме четно число $p$, то може да се представи във вида $p= 2^{k}\cdot{m}$, където $m$ е нечетно число. Делителите на $2^{k}$ не определят дали сумата от делителите на $p$ е четна или нечетна, защото тяхната сума е винаги четна. Значи дали сумата е нечетна зависи от сбора на делителите на $m$, и $p$ ще има нечетен сбор от делителите само ако сборът от делителите на $m$ е нечетен. Но от по-горе вече знаем, че за нечетно число това е изпълнено само ако то е точен квадрат, тоест $m= t^{2}$, където $t$ също е нечетно. Получаваме фомата $p= 2^{k}\cdot{t^{2}}, \quad k\in{\mathbb{N}}, \quad t \in{\mathbb{Z}}^{+}, t \bmod{2} \equiv 1\ . \\[12pt]\quad $ В крайна сметка доказахме, че сборът от делителите на едно число е нечетен тогава и само тогава когато числото е точен квадрат на нечетно число, или ако е произведение на точен квадрат на нечетно число със коя да е степен на $2$. Общият вид на числата за които сумата от делителите е нечетно число е $$ p= 2^{k}\cdot{t^{2}} , \quad k\in{\mathbb{N}}_{0}, \quad t \in{\mathbb{Z}}^{+}, t \equiv 1 (\bmod{2}) $$ $\\[2pt]\quad$ Вижда се, че $\begin{cases}k\equiv 1\ (\bmod{2}) \Rightarrow k=2n+1, n\in\mathbb{N_{0}} \quad \Rightarrow p=2\cdot{(2^{n}\cdot{t}})^{2}, \quad t \in{\mathbb{Z}}^{+}, t \equiv 1 (\bmod{2}) \\ k\equiv 0\ (\bmod{2}) \Rightarrow k=2n, n\in\mathbb{N_{0}} \quad \Rightarrow p=(2^{n}\cdot{t})^{2}, \quad t \in{\mathbb{Z}}^{+}, t \equiv 1 (\bmod{2}) \end{cases}$ $\\[2pt]\quad$Като знаем формата, можем лесно да преценим кое е най-близкото такова число след $2025= 45^{2}, \quad 2^{10}<45^{2}<2^{11}$, и то е $2^{11}\cdot{1^{2}}= 2048$.

[pal702004]

Да.
Аз бих усложнил задачата, например. Две съседни естествени числа да имат нечетен сбор на делителите - краен или безкраен е техният брой. (Уравнението $x^2-2y^2=\pm 1$)

или числото $n(n+1)$ да има нечетен сбор на делителите