цели алгебрични числа

[snake1109]

Нека d е свободно от квадрати цяло число и d е пръстен от цяло алгебрично число в квадратичното разширение Q([tex]\sqrt{d}[/tex]). Докажете, че целочислен базис е при d≡2,2(4)

[martin.nikolov]

Това е написано много небрежно. Това което си искал да напишеш е. Нека [tex]d[/tex] е свободно от квадрати цяло число и [tex]\mathcal O[/tex] е пръстена от цели алгебрични числа в полето [tex]\mathbb{Q}(\sqrt d)[/tex]. Да се докаже, че целочислен базис е [tex]\{1,\quad \omega\}[/tex] където [tex]\omega=\sqrt d[/tex] ако [tex]d = 2, 3\quad (mod \quad 4)[/tex] и [tex]\omega=\frac{1+\sqrt d}2[/tex] ако [tex]d = 1 \quad (mod \quad 4)[/tex].

[snake1109]

Така ни го каза доцента. Ако можеш помогни с доказателството.

[martin.nikolov]

Едва ли го е казал точно така като е написано по горе. Между другото кой е доцента, ако не е тайна. Мога да помогна, но не бих написал готово решение. Докъде стигате?

[snake1109]

Не мога да почна

[martin.nikolov]

А знаеш ли какво е целочислен базис и какво е цяло число?

[snake1109]

задачата ми трябва за да ми дадат заверка в понеделник pls помогни ми

[snake1109]

α[tex]\in[/tex]К се нарича цяло алгебрично число над Ф, ако min полином на α над F е унитарен с коефициенти от Z.
Системата α_{1 },α_{2 },... образуват базис <=>[tex]\Delta[/tex](α_{1 },α_{2 },...)≠0

[martin.nikolov]

Това за базиса е така само ако става дума просто за базис. Тук става дума за целочислен базис.

Вземи произволно цяло алгебрично число от полето, то може да се предтави като [tex]a+b\sqrt{d}[/tex] с [tex]a,b[/tex] рационални, защото е от полето. Това, че е цяло означава, както каза, че удоволетворява уравнение от вида [tex]x^2+mx+n=0[/tex] с [tex]m,n[/tex] цели(обикновените цели числа). От тук напиши [tex]a,b[/tex] като частно на цели и виж какво следва от факта, че числото е корен на уравнението.

[snake1109]

Благодаря!

[JAssang]

[tex]f(x)=x^2-d[/tex] - мин.полином за \sqrt{d} -- неразложим по Крит. Айзенщайн за прост делител на d.
[tex]Q(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}|a,b\in Q}[/tex]

[tex]\alpha=a+b\sqrt{d}[/tex] да е цялоалгебрично
[tex]beta=a-b\sqrt{d}[/tex] е спрегнат и ми. пол. е
[tex]g(x)=*(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-2ax+(a^2-db^2)[/tex] е целоч.
2a\in Z, a^2-db^2\in Z, 4a^2-4db^2\in Z, 4db^2\in Z, 4b^2\in Z, 2b\in Z,

2a=m, 2b=n - четни
[tex]m^2-dn^2\equiv 0(mod 4)[/tex]

I. [tex]d\equiv 2,3(mod 4)[/tex], [tex]m^2-dn^2\equiv \left\{\begin{array}m^2+2n^2\equiv 0(mod 4)\\m^2+n^2\equiv 0(mod 4)\end{array}{\right.[/tex] и след разглеждането на всички случаи за m^2 и n^2 по модул 4 стигаме до [tex]n\equiv \m\equiv 0(mod 2)[/tex] и тогава [tex]a,b\in Z[/tex]
цел. баз. [tex]1,\sqrt{d}[/tex]
II. [tex]d\equiv 1(mod 4)[/tex], [tex]m^2-dn^2\equiv m^2-n^2\equiv 0(mod 4)[/tex] и [tex]m^2\equiv n^2(2)[/tex]
[tex]\alpha=m/2+\sqrt{d}n/2=(m-n)/2+n(\sqrt{d}+1)/2[/tex]
[tex](m-n)/2\in Z[/tex], [tex](\sqrt{d}+1)/2\in Z[/tex]
цел. баз. [tex]1,(1+\sqrt{d})/2[/tex]