Да се провери дали числото e просто

[asdqwezxc]

Задача 1)
Нека a и b са цели числа и [tex](23,a) = (23,b) = (a,b) = 1[/tex] . Да се изчисли [tex](23ab, 23a + 23b + ab)[/tex]
Задача 2
Да се провери числото [tex]2^{22 }[/tex] e просто?
Задача 3)
Да се реши сравнението : [tex]x + mx + 9 \equiv 0 ( mod81)[/tex]
Задача 4
Нека a и b са цели числа и [tex](23,a) = ( 6,b ) = ( a,b) = 1[/tex] Да се изчисли [tex](6,a + 23b , ab)[/tex]

[martin123456]

1)[tex]p \in \mathbb{P}[/tex]
[tex]p|23ab[/tex], [tex]p|(23a+23b+ab)[/tex]
=> [tex]p|23^2(a+b)[/tex]=>[tex]p|23^2(a^2+ab)[/tex]=>[tex]p|23^2a^2[/tex]. ... [tex]p|23^2b^2
1.1)[tex]p|a^2[/tex]=>[tex](p,b)=1[/tex]=>[tex]p|23^2[/tex]
1.2)[tex](p,a)=1[/tex]=>[tex]p|23^2[/tex]
1.1)+1.2) => [tex]p|23^2[/tex]=>[tex]p=23[/tex]. [tex](23,23a+23b+ab)=1[/tex]=> [tex]\not \exist p[/tex] =>
[tex](23ab,23a+23b+ab)=1[/tex]

[martin123456]

2.[tex]2|2^{22}[/tex], [tex]2^{22}>2[/tex] =>Не е

[martin123456]

4) [tex]p \in \mathbb{P}[/tex]
[tex]p|6[/tex]
1)[tex]p=2[/tex]=>[tex]2|(a+23b)[/tex], [tex]2|ab[/tex]=>[tex]2|23b^2[/tex]=>[tex]2|b[/tex].....[tex]2|a[/tex]=>[tex]p \ne 2[/tex].
2)[tex]p=3[/tex] =>[tex]3|(a+23b)[/tex],[tex]3|ab[/tex]=>[tex]3|23b^2[/tex]=>[tex]3|b[/tex]...[tex]3|a[/tex]=>[tex]p \ne 3[/tex]
=>[tex]\not \exists p[/tex]
=>1

[asdqwezxc]

Опа малка грешка.
Зад 2)
Да се провери дали числото е просто [tex]2^{23} - 1[/tex]

[martin123456]

[tex]p \in \mathbb{P}[/tex]
[tex]p|(2^{23}-1)[/tex]. [tex]p|(2^s-1)[/tex],[tex]s_{min}[/tex] =>[tex]s|23[/tex].
2.1)[tex]s=1[/tex]=>[tex]p|1[/tex] - [tex]\empty[/tex]
2.2)[tex]s=23[/tex]=>[tex]23|(p-1)[/tex]=>[tex]p=23k+1[/tex].
2.2.1)[tex]k \equiv 1 (mod2)[/tex]=>[tex]p \equiv 0 (mod 2)[/tex] - [tex]\empty[/tex]
2.2.2)[tex]k \equiv 0 (mod 2)[/tex]=>[tex]k \geq 2[/tex]=>[tex]p \geq 47[/tex]
... [tex]2^{23}-1=8388607=47*178481[/tex]

[martin123456]

нека [tex]d=(m+1,81)[/tex]. задачата има решение <=> [tex]72 \equiv 0 (mod \hspace{5mm}d)[/tex] има решение.
значи трябва [tex]d|72[/tex]. от друга страна [tex]d|81[/tex], [tex](72,81)=9[/tex]=>[tex]d|9[/tex].
1) [tex]d=1[/tex]. тогава [tex]\forall m[/tex] има само едно решение оригиналното уравнение. да забележим, че [tex]9|x(m+1)[/tex]. тъй като [tex]d=1[/tex], то [tex]9|x[/tex]. [tex]x=0[/tex] не ни устройва. [tex]x=9[/tex]=>[tex]81|(18+9m)[/tex]=>[tex]9|(2+m)[/tex]. [tex]m \in \{7,16,25,34,43,61,70,79\}[/tex]
2)[tex]d=3[/tex]
3)[tex]d=9[/tex]
в последните 2 случая имаме по няколко решения за всяко [tex]m[/tex]. откриваме 1 от тях [tex]x_0 <\frac{81}{d}[/tex] и всички други са [tex]x_0+i\frac{81}{d}[/tex], [tex]i \in \{1,2,\ldots, d-1\}[/tex]