Една задача за прости числа

[ivdechev]

Да се докаже, че ако за произволно избрано естествено число n?5 е изпълнено равенството:

[(n-1)/k]=[n/k], за всяко естествено 1? к ? n

то, числото n е просто.

[x]- цялата част от числото x

[martin123456]

[tex][\frac{n-1}{k}]=[\frac{n}{k}]=y[/tex]
=> [tex]\frac{n}{k}-1 < y \leq \frac{n-1}{k}[/tex] <=> [tex]n-k<ky \leq n-1[/tex]<=>[tex]ky+1\leq n<ky+k[/tex]
нека p е прост делител на n. той е сред 1,...,n-1. значи [tex]py+1 \leq pn_1 < py+p[/tex]. значи [tex]pn_1[/tex] е с вид [tex]py+l[/tex], l=1,...,p-1. но щом [tex]pn_1=py+l[/tex]=>p|l. невъзможно.