Разлагане на сума от два квадрата

[Добромир Глухаров]

Дефинирах си функция [tex]d(n)[/tex] - най-малкото естествено число, което се разлага на сума от точно два квадрата на естествени числа по [tex]n[/tex] различни начина. Ето каква табличка получих:

Код: Избери целия код

n   d(n)

2   50
3   325
4   1105
5   8125
6   5525
7   105625
8   27625
9   71825
10   138125

Прави впечатление, че [tex]d(n)\equiv 0(mod 5)[/tex] и дори (с изключение на [tex]n=4[/tex]) [tex]d(n)\equiv 0(mod 25)[/tex]. Дали това не може да се разшири като общо правило и евентуално да се докаже ?

[alexander_ivanov]

имаш някаква грешка 50 се разлага на 2 точни квадрата само като 49+1

[Добромир Глухаров]

имаш някаква грешка 50 се разлага на 2 точни квадрата само като 49+1

[tex]50=25+25[/tex]

[Добромир Глухаров]

Ето програмката, която използвах:

Код: Избери целия код

#include <iostream>
#include <fstream>

using namespace std;

int d(int n)
{
    int a,b,c,br;
    c=1;
    do
    {
        br=0;c++;
        for(a=1;a*a<c;a++)
            for(b=a;b*b<c;b++)
                if(a*a+b*b==c) br++;
    }
    while(br!=n);
    return c;
}

int main()
{
    ofstream F("File.txt");
    int c;
    for(c=2;c<11;c++)
    {
        cout<<c<<"\t"<<d(c)<<endl;
        F<<c<<"\t"<<d(c)<<endl;
    }
    F.close();
    return 0;
}

[alexander_ivanov]

да моя грешка

[Станислав]

Може би формулата [tex]g(n)=\prod_{p\equiv 1(mod 4)} (1+ord_p(n))[/tex], даваща ни точния брой представяния на естественото число [tex]n[/tex] като сбор от 2 квадрата, би помогнала.

[Добромир Глухаров]

От формулата следва [tex]n\equiv 0(mod\ 5)[/tex]. А [tex]n\equiv 0(mod\ 25)[/tex] май не следва във всички случаи ?

[Добромир Глухаров]

[tex]g(13)=2[/tex], а 13 се представя като сума от два квадрата по единствен начин ?!

[allier]

13 = 4+9 = 9+4 -> 2
8 = 4+4 -> 1

[Добромир Глухаров]

Всъщност моята програма брои разлагането [tex]n=a^2+b^2[/tex] само за [tex]a\le b[/tex]. Така че формулата за [tex]g(n)[/tex] май все пак върши работа.

Програмата ми намира такива [tex]n[/tex], за които [tex]g(n)\ge 4[/tex]. Ако предположим, че [tex]n[/tex] не се дели на [tex]5[/tex], [tex]min\ n=13.13[/tex], но [tex]169[/tex] не се съдържа в таблицата.Значи [tex]d(n)[/tex] се дели на [tex]5[/tex] за всяко [tex]n[/tex].

[Станислав]

От формулата следва [tex]n\equiv 0(mod\ 5)[/tex]. А [tex]n\equiv 0(mod\ 25)[/tex] май не следва във всички случаи ?

Мда, и мен тази сутрин ме осени тази мисъл. Може би, ще трябва да погледна по-обстойно. Въпросът има общо с един от проектите, които съм писал, и ще видя дали нещо може да се свърже.

П.С Така зададеният проблем има връзка с т.нар "силно съставни числа " - http://mathworld.wolfram.com/HighlyCompositeNumber.html Не успях да намеря някакви статии, за случаите, когато простите делители на някое число са от даден вид. Изглежда ми неизследван проблем до момента.

[Xixibg]

Ето малко теория по темата:
http://www.fmi.uni-sofia.bg/econtent/Uv ... 9.2011.pdf

страници 44-58

[silvana82]

здравейте
някой може ли да реши подробно тази задача
x^2 + y^2 = 1105

благодаря предварително

[Станислав]

Разгледай уравнението в [tex]\mathbb{Z}[i][/tex] - пръстенът на Гаусовите цели числа.