Докажете, че за всяко цяло число k, числото се дели на 120

[elsinka_10]

Докажете, че за всяко цяло число k, числото [tex]k(k^{2}-3k+2)(2k^{2}+k-1)[/tex] се дели на 120.

[Xixibg]

Задачата има смисъл единствено при условие [tex]k\ge3 , k[/tex] цяло.
За [tex]k=0 , k=1 ,k=2 => f(k)=0[/tex]

[Xixibg]

[tex]k(k^2-3k+2)(2k2+k-1)=k(k-1)(k-2)(k+1)(2k-1)[/tex]
1.[tex]k=3 => f(k)=1.2.3.4.5=120 => f(k)[/tex] се дели на 120
2.нека [tex]k\ge4[/tex];[tex]k-2 , k-1 , k , k+1[/tex] са четири последователни цели числа
[tex]=>[/tex] поне едно от тях се дели на 2 ,поне едно се дели на 3 ,поне едно се дели на 4 и поне едно се дели на 5
[tex]=>k(k-1)(k-2)(k+1)(2k-1)[/tex] се дели на 120.

[strangerforever]

[tex]k(k^2-3k+2)(2k2+k-1)=k(k-1)(k-2)(k+1)(2k-1)[/tex]
1.[tex]k=3 => f(k)=1.2.3.4.5=120 => f(k)[/tex] се дели на 120
2.нека [tex]k\ge4[/tex];[tex]k-2 , k-1 , k , k+1[/tex] са четири последователни цели числа
[tex]=>[/tex] поне едно от тях се дели на 2 ,поне едно се дели на 3 ,поне едно се дели на 4 и поне едно се дели на 5
[tex]=>k(k-1)(k-2)(k+1)(2k-1)[/tex] се дели на 120.

Не можеш да кажеш от това, че са 4 последователни числа, че задължително се дели на 5. Дели се на 5 във всички случаи освен когато [tex]k \equiv 3(mod 5)[/tex]. Тогава k се представя като [tex]5t + 3[/tex], [tex]t \in Z[/tex] и [tex](2k-1) = (10k-5)[/tex], което се дели на 5.

[loving_math]

Задачата има смисъл единствено при условие [tex]k\ge3 , k[/tex] цяло.
За [tex]k=0 , k=1 ,k=2 => f(k)=0[/tex]

ОК, това е ясно, поне що се отнася до целите положителни числа.При отрицателните обаче, като изключим -1 като стойност на к , при която f(k)=0, защо задачата да няма смисъл за всяко к≤ -2, к цяло ?

[Xixibg]

Не можеш да кажеш от това, че са 4 последователни числа, че задължително се дели на 5. Дели се на 5 във всички случаи освен когато . Тогава k се представя като и , което се дели на 5.

Абсолютно си прав
Не се замислих много.Все пак множителят[tex]2k-1[/tex] е даден за нещо.Общо взето развивах идеята .......

[Xixibg]

Задачата има смисъл единствено при условие [tex]k\ge3 , k[/tex] цяло.
За [tex]k=0 , k=1 ,k=2 => f(k)=0[/tex]

ОК, това е ясно, поне що се отнася до целите положителни числа.При отрицателните обаче, като изключим -1 като стойност на к , при която f(k)=0, защо задачата да няма смисъл за всяко к≤ -2, к цяло ?

При делимостта е прието да се работи с положителни числа иначе ще ни е трудно да формулираме определение за просто число.Нищо не ни пречи да развием същата теория и за отрицателните числа в дадената задача.А коментарът ми за смисъла на задачата бе ,че може би условието е .....[tex]k\ge3 , k[/tex]- цяло

[grav]

Числото нула се дели на 120.

[mkmarinov]

При делимостта е прието да се работи с положителни числа иначе ще ни е трудно да формулираме определение за просто число

Не и пак не. 1 точка за спорта.

За положителни числа, трябва да докажем, че
[tex]P(k)=(k-2)(k-1)k(k+1)(2k-1)[/tex] се дели на 120. Засега, нека само го предположим .
[tex]P(k+1)=(k-1)k(k+1)(k+2)(2k+1)=(k-1)k(k+1)(k-2+4)(2k-1+2)=\\=(k-1)k(k+1)(k-2)(2k-1+2)+4(k-1)k(k+1)(2k-1+2)=\\=(k-1)k(k+1)(k-2)(2k-1)+2(k-1)k(k+1)(k-2)+4(k-1)k(k+1)(2k+1)=\\=P(k)+2(k-1)k(k+1)(k-2+4k+2)=\\=P(k)+10(k-1)k^2(k+1)[/tex]
От индукционното предположение, [tex]120/P(k)[/tex]. Остава да докажем, че [tex]12|(k-1)k^2(k+1)[/tex] за всяко k. Произведение на 3 последователни числа, очевидно се дели на 3. Ако k е нечетно, тогава [tex]4|k^2-1[/tex], при което 12 дели израза. Ако k е четно, [tex]4|k^2[/tex], при което 12 пак дели израза.
Проверяваме базовите случаи (k=0,1,2) - тогава [tex]P(k)=0[/tex], което се дели на 120, както grav правилно е отбелязал. С това решението за положителни числа е завършено.

За отрицателни числа - [tex]P(-k)=-P(k+1)[/tex], поне едно от които е положително и се дели на 120.