Да се докаже, че не може едновременно да е изпълнено...

[physics]

Задачата май се води за лесна, но просто не можах да измисля никакво доказателство вече около 1 час и бих искал да я споделя :
Да се докаже, че не може едновременно и трите числа 2d-1, 5d-1,13d-1 да са точни квадрати [tex](d\in N)[/tex]

[grav]

Точните квадрати дават остатък 0 или 1 по модул 4.

Ако [tex]d=2k[/tex] е четно, тогава [tex]2d-1=4k-1[/tex], което е 3 по модул 4.

Ако е нечетно:

Ако [tex]d=4k+3[/tex], тогава [tex]5d-1=20k+14[/tex], което е 2 по модул 4.

Ако [tex]d=4k+1[/tex], тогава [tex]5d-1=4(5k+1)[/tex] i [tex]13d-1=4(13k+3)[/tex]. За да са точни квадрати, трябва мноxителите в скобите да са точни квадрати. Разглеждаш какво става по модул 4 в зависимост от [tex]k[/tex].