343 дели 2^{147}-1

[nikko]

Една интересна и мога да кажа сравнително лесна задача.

(Long list problems IMO 1975) Докажете, че [tex]2^{147}-1[/tex] се дели на 343.

[martin123456]

[tex]\varphi(343)=\varphi(7^3)=2.147[/tex]. значи [tex]7^3|(2^{147}+1)(2^{147}-1)[/tex]. Но [tex]2^{147}+1 \equiv (2^3)^{49}+1 \equiv 2\hspace{2mm} (mod\hspace{2mm}7)[/tex] значи [tex]7^3|(2^{147}-1)[/tex]