n^6-3n^5+6n^4-7n^3+5n^2-2n се дели на 24

[Mr.G{}{}Fy]

Да се докаже,че за всяко естествено n числото [tex]n^6-3n^5+6n^4-7n^3+5n^2-2n[/tex] се дели на [tex]24[/tex]
Да се докаже,че за всяко естествено n числото [tex]20^{2n}+16^{2n}-3^{2n}-1[/tex] се дели на [tex]323[/tex]

[strangerforever]

[tex](20^2)^n \equiv 77 (mod 323)[/tex]

[tex](16^2)^n \equiv 256 (mod 323)[/tex]

[tex](3^2)^n \equiv 9 (mod 323)[/tex]

[tex]\Rightarrow (20^2)^n + (16^2)^n - (3^2)^n - 1 \equiv 323 \equiv 0 (mod 323)[/tex]

Първото се разлага до [tex](n^2 - n)(n^2 - n + 1)(n^2 - n + 2)[/tex]. Произведение на три последователни числа, от които две са четни и едно нечетно. При [tex]n^2 - n = 0[/tex] числото се дели на 24. При [tex]n^2 - n > 0[/tex], първото от трите последователни се дели поне на 2, второто поне на 3, а третото поне на 4, т.е. произведението им се дели поне на 24. QED.

[mkmarinov]

[tex](20^2)^n \equiv 77 (mod 323)[/tex]

[tex](16^2)^n \equiv 256 (mod 323)[/tex]

[tex](3^2)^n \equiv 9 (mod 323)[/tex]

При n=1.

Задачата се решава много лесно с индукция.
[tex]20^{2(n+1)}+16^{2(n+1)}-3^{2(n+1)}-1=400.20^{2n}+256.16^{2n}-9.3^{2n}-1=\\=400(20^{2n}+16^{2n}-9.3^{2n}-1)-144.16^{2n}+391.3^{2n}+399 \equiv -144.16^{2n}+68.3^{2n}+76=S[/tex]
323=19*17, които очевидно са взаимно прости. Разглеждаме горната сума по двата модула:
[tex]S \equiv -144.(-1)^{2n}+17.4.3^{2n}+76 \equiv -144+76 \equiv 0 (mod 17)[/tex]
[tex]S \equiv -144.(-3)^{2n}+68.3^{2n}+76 \equiv -76.9^n+76 \equiv 0 (mod 19)[/tex]
S се дели на 17*19 и [tex]323/S_n \to 323/S_{n+1}[/tex], strangerforever е доказал случаят за n=1, откъдето следва, че [tex]323/S_n \forall n \in N[/tex]

[strangerforever]

ya, of course

[Mr.G{}{}Fy]

Оххх,Благодаря.За тази с трите поредни числа съм спал направо .А пък,иначе за другата и аз пробвах по същия начин,ама не се досетих за това [tex]17.19[/tex] макар,че е мега елементарно съдейки по [tex]18^2=324[/tex]