Съществуват безброй много естествени числа n|(2^n+2)

[Mr.G{}{}Fy]

1.Да се докаже,че съществуват безброй много естествени числа [tex]n[/tex],за които [tex]n|(2^n+2)[/tex]

2.Да се докаче,че за всяко естествено число [tex]n[/tex] [tex]F_n|(2^{F_n}-2[/tex]),където [tex]F_n=2^2^n+1[/tex]

[martin123456]

1.
Като написах програма за кои малки [tex]n[/tex] това е вярно видях, че са 2, 6, 66. Тези числа имат връзката, че ако [tex]a_1=2[/tex], [tex]a_2=6=2^{a_1}+2[/tex], [tex]a_3=66=2^{a_2}+2[/tex]. Предполагаме, че ако [tex]n|
(2^n+2)[/tex], то [tex](2^n+2)|(2^{2^n+2}+2)[/tex]. Ако докажем това сме открили безкрайна редица [tex]{n}[/tex] удовлетворяваща условието.

Имаме [tex]2^n+2=nk[/tex], значи трябва да докажем, че [tex]nk|2^{nk}+2[/tex]. Ясно, че [tex]k[/tex] е нечетно, понеже [tex]n[/tex] е четно. Имаме [tex]2^{nk}+1=(2^n+1)(2^{n(k-1)}+\cdots +1) \Rightarrow (nk-1)|(2^{nk}+1)[/tex]. Значи [tex]2^{nk}+1=(nk-1)l[/tex]. Трябва да док, че [tex]nk|(nk-1)l+1 \Leftrightarrow nk|(l-1) \Leftrightarrow l \equiv 2^{n(k-1)}+\cdots +1 \pmod{nk}[/tex].
[tex]2^{nk}+1=(2^{n}+1)(2^{n(k-1)}+\cdots +1)[/tex], т.е. [tex](nk-1)l=(2^n+1)(2^{n(k-1)}+\cdots +1)[/tex]. Последното гледаме по модул [tex]nk[/tex]: [tex]-l \equiv -(2^{n(k-1)}+\cdots +1) \Leftrightarrow l \equiv 2^{n(k-1)}+\cdots +1 \pmod{nk}[/tex].