Задачи - докажете че ако (a^n+b^n)|(a^m+b^m) то n|m

[Mr.G{}{}Fy]

1.Да се докаже,че ако [tex]a>1[/tex],[tex]m[/tex] и [tex]n[/tex] са естествени числа то : [tex](a^m-1,a^n-1)=a^{(n,m)}-1[/tex].
2.Нека [tex]a,b,m,n[/tex] са естествени числа,за които [tex](a,b)=1,a>1[/tex].Да се докаже,че ако [tex](a^n+b^n)|(a^m+b^m)[/tex] то [tex]n|m[/tex]
Ако може,само по-подробничко,че нещо загрявам трудно.

[strangerforever]

Нека [tex]d = (m,n)[/tex] и [tex]kd = m[/tex]. Тогава [tex]a^m - 1 = (a^d)^k - 1[/tex], което се дели на [tex]a^d - 1[/tex]. Аналогично, [tex]a^n - 1[/tex] се дели на [tex]a^d - 1[/tex]. Тогава [tex](a^d - 1) | (a^m - 1, a^n - 1)[/tex] (1)

Знаем, че съществуват такива цели числа x и y, че mx + ny = d. Да отбележем няколко неща за тях:

Не могат да са и двете положителни, защото тогава [tex]d \ge m + n[/tex]. Очевидно грешно, понеже [tex]d = (m,n)[/tex].
Не могат да са и двете отрицателни, защото тогава d - отрицателно, a m и n са положителни.
Тогава са с различни знаци.

[tex]\text{WLOG}:x \le 0, y > 0[/tex]

Сега [tex](a^m - 1,a^n - 1) | (a^{-mx} - 1)[/tex] и [tex](a^m - 1, a^n - 1) | (a^{ny} - 1)[/tex], от което следва:

[tex](a^m - 1,a^n - 1) | ( (a^{ny} - 1) - a^d(a^{-mx} - 1)) = a^d - 1[/tex] (2)

От (1) и (2) следва исканото.

[inveidar]

viewtopic.php?f=80&t=5816&p=29734#p29734

[kucheto]

[tex]a^n+b^n|a^m+b^m[/tex]

По нататък в доказателството си ще използваме очевидния факт, че за [tex](x,y)=1,\ x+y|ax+by\Rightarrow x+y|a-b[/tex]

[tex]a^n+b^n|a^m+b^m=a^na^{m-n}+b^nb^{m-n}\Rightarrow a^n+b^n|a^{m-n}-b^{m-n}=a^na^{m-2n}-b^nb^{m-2n}\\\Rightarrow a^n+b^n|a^{m-2n}+b^{m-2n}[/tex]

Нека [tex]m=n(2k+1)+t,\ 0\le t<2n.[/tex] Аналогично на горното достигаме до:

[tex]a^n+b^n|a^{m-2kn}+b^{m-2kn}=a^{n+t}+b^{n+t}\Rightarrow a^n+b^n|a^t-b^t[/tex]

ако [tex]t\le n\Rightarrow a^n+b^n>a^t-b^t\Rightarrow t=0\Rightarrow m=n(2k+1),\ n|m[/tex]

ако [tex]t>n\Rightarrow a^n+b^n|a^{t-n}+b^{t-n}<a^n+b^n\ne 0\Rightarrow[/tex] противоречие

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаря,на всички за отделеното внимание и за помощта.