Да се реши в естествени числа 1+3^y.7^z=2^x

[Mr.G{}{}Fy]

[tex]1+3^y.7^z=2^x[/tex]

[martin123456]

[tex]\pmod{3}:\hspace{2mm}2^x \equiv 1 \Rightarrow x=2x_1[/tex]
[tex]\pmod{7}:\hspace{2mm}2^x \equiv 1\Rightarrow x=6x_2[/tex]
[tex]3^y.7^z=(2^{6x_2}-1)=(2^{2x_2}-1)(2^{4x_2}+2^{2x_2}+1)[/tex].
[tex]d=2^{2x_2}-1,2^{4x_2}+2^{2x_2}+1)\Rightarrow d|2^{4x_2}-1+2^{2x_2}-1+3[/tex], т.е. [tex]d|3[/tex]. Oчевидно [tex]3|d \Rightarrow d=3[/tex].
Сега гледаме остатъците на степените на 2ата по модул 49.
[tex]\phi(49)=\frac{49.6}{7}=42[/tex].
[tex]2^{21} \equiv 1 \pmod{49}[/tex].
Опитай да докажеш че втори множител не се дели на 49.
Тогава е степен на 3ката. Докажи че не се дели на 9. Значи е или 7 или 3 или 21. Докажи че е 21. Оттам идва [tex]x_2[/tex].

[Mr.G{}{}Fy]

А как да докажа,че вторият множител не се дели на 49? Всъщност,трябва да се докаже,че само единия се дели на 7 (съдейки по отговора). Иначе,в авторовото решение е посочено как да докажа,че изразът от дясно не се дели на 49,но по този твоя начин как ще го докажем? Благодаря,предварително и благодаря за даденото решение.

[martin123456]

Всъщност така стана много сложно, а и проверих че има стойности на [tex]x_2[/tex] на за които 2ри множител се дели 49.
Пробваме друго:
[tex]3^y.7^z=(2^{3x_2}+1)(2^{3x_2}-1)[/tex]. [tex]d=(8^{x_2}+1)(8^{x_2}-1)\Rightarrow d|2[/tex]. Очевидно множителите са нечетни, значи [tex]d=1[/tex]. Значи са взаимнопрости. Първият множитител не се дели на 7 значи [tex]8^{x_2}+1=3^y[/tex], [tex]8^{x_2}-1=7^z[/tex].
Ясно, че [tex]z[/tex] нечетно, [tex]y[/tex] четно като разгледаме горните по модул 4. Значи [tex]y=2y_1[/tex], получаваме [tex]8^{x_2}=3^{2y_1}-1=(3^{y_1}+1)(3^{y_1}-1)[/tex]. [tex]d=(3^{y_1}+1,3^{y_1}-1)\Rightarrow d|2[/tex]. Очевидно [tex]d=2[/tex]. Значи [tex]2^{3x_2-2}=\frac{3^{y_1}+1}{2}.\frac{3^{y_1}-1}{2}[/tex] и множителите вдясно са взаимно прости. Значи единият от тях е равен на 1 [tex]\Rightarrow 3^{y_1}-1=2, y_1=1, y=2, z=1[/tex].