Числата на Ферма завършват на 7

[Apocalyp5e]

Числа от вида [tex]2 ^ { {2} ^ {n} }+1[/tex] се наричат числа на Ферма [tex](n \in N).[/tex] Докажете, че за n > 1, числата на Ферма окончават на 7.

[nikko]

Числа от вида [tex]2 ^ { {2} ^ {n} }[/tex] се наричат числа на Ферма [tex](n \in N).[/tex] Докажете, че за n > 1, числата на Ферма окончават на 7.

Я пак. Това число е четно, така че не окончава на 7

[Apocalyp5e]

Съжалявам, пропуснах една единичка

[nikko]

Ще докажем еквивалентно твърдение. [tex]2^{2^{n}}[/tex] завършва на 6. Използвам метод на математическата индукция.
1) [tex]n=2[/tex] имаме [tex]2^{2^{2}}=2^4=16[/tex];
2) Допускаме, че [tex]2^{2^{n-1}}=10k+6[/tex], т.е. завършва на 6;
3) [tex]2^{2^{n}}=(2^{2^{n-1}})^2=(10k+6)^2=10(10k^2+12k+3)+6[/tex] и завършва на 6.

[mkmarinov]

[tex]2^{2^n}=(2^{2^{n-1}})^2=(2^2)^{2^{n-1}}=4^{2^{n-1}}=16^{2^{n-2}}[/tex]. Всяка естествена степен ([tex]N^0[/tex]) на число, завършващо на 6, завършва на 6. [tex]n-2 \in N^0[/tex] т.к. по условие n>1.