Стаи и студенти

[addicted]

1. По колко начина могат да се разпределят 9 студент в 3 стаи ( във всяка по 3ма), ако:
а) двама искат да са заедно
б)двама не искат да са заедно
2.По колко начина могат да се разпределят k подаръка на n ученици така, че всеки ученик да е получил поне по 1 подарък
Първата задача я пускам, защото нямам отговор, а и малко се обърках там поради следната задача:
Да се намери по колко начина могат да се сложат 4 студента в 2 стаи ( във всяка по 2ма) .
Първоначално си казах, че отговорът е [tex]C_4^2 . C _2^2[/tex] , обаче действително отговорът е 3, а не 6.И ми е ясно, защо се получава така в конкретния случай, но ако решавах общия нямаше да се досетя.

[kmitov]

1. По колко начина могат да се разпределят 9 студенти 3 стаи ( във всяка по 3ма), ако:
а) двама искат да са заедно

Двамата, които искат да са заедно броим за един. Заедно с още един, който може да бъде избран по 7 начина, имаме
7 възможности. За така избраната група имаме избор на стая по 3 начина. До тук 7.3=21. От останалите 6 души имаме [tex]{6 \choose 3}=20[/tex] начина да изберем 3 ма , които да отидат в едната стая, а останалите трима в другата.Така броят на разпределенията е 21.20=420.

б)двама не искат да са заедно

За единят ит тях избираме 2ма другари от останалите 7, което става по [tex]{7 \choose 2}=21[/tex] начина и за тези тримата имаме 3 избора на стая, така 3.21=63. За другия избираме от останалите 5 двама другари, което става по
[tex]{5 \choose 2}=10[/tex] начина и за тези тримата имаме 2 избора на стая 2.10=20. Така броят на разпределеннията е 63.20=1260

2.По колко начина могат да се разпределят k подаръка на n ученици така, че всеки ученик да е получил поне по 1 подарък.

Ясно е, че [tex]k \ge n[/tex]. Имаме

Първата задача я пускам, защото нямам отговор, а и малко се обърках там поради следната задача:
Да се намери по колко начина могат да се сложат 4 студента в 2 стаи ( във всяка по 2ма) .
Ако стаите, като и хората са различими едно от друго, става така:

Двама от четиримата могат да се изберат по [tex]{4 \choose 2}=6[/tex] начина , които отиват в едната стая и останалите двама в другата.
Ако хората са A, B, C, D, то възможните разпределения са следните

(1стая)(2стая):
(AB)(CD)
(АC)(BD)
(AD)(BC)
(BC}(AD)
(BD}(AC}
(CD)(AB)

Ако стаите не са различими, то този брой ще се раздели на 2, като считаме 1 и 6 за еднакви, 2 и 5 за еднакви и 3 и 4 за еднакви.

Същото ще важи и в точка а) на първата задача и броя на разпределенията там при неразличими стаи ще е наполовината 210.

В точка б) на 1 задача при неразличими стаи ще съкратим на 6 и ще имаме пак 210.


Първоначално си казах, че отговорът е C_4^2 . C _2^2 , обаче действително отговорът е 3, а не 6.И ми е ясно, защо се получава така в конкретния случай, но ако решавах общия нямаше да се досетя.


Сега за 2 задача, ако считаме че подаръците са еднакви, а хората са различни, то [tex]n[/tex] подаръци ще раздадем на всеки от хората за да има всеки поне по един подарък.

Останалите [tex]k-n[/tex] подаръци ще разпределим на [tex]n[/tex]-те хора по
[tex]{ {k-n+n-1} \choose {n}}[/tex] начина (Ненареден избор с повторение). Така броят на разпределенията е [tex]{{k-1} \choose {n}}[/tex] .

[addicted]

Ясно, благодаря много за изчерпателния отговор.Сега имам друг въпрос: по колко начина могат да се сложат 7 еднакви ябълки в 4 еднакви щайги. Мислех, че отговорът трябва да е комбинацията с повторение и после делено на факторила н бров на щайгите... Ама нещо не се получава така.Та има ли формула за подобни типове задачи и ако да как се достига до нея.Благодаря предварително и още веднъж благодаря за подробния отговор.

[kmitov]

Задачата е за представяне на числото 7, като сума от 4 събираеми. Тези представяния могат да се преброят непосредствено

7=7+0+0+0
7=6+1+0+0
7=5+2+0+0
7=5+1+1+0
7=4+3+0+0
7=4+2+1+0
7=4+1+1+1
7=3+2+2+0
7=3+2+1+1
7=2+2+2+1

Счита се че топките са неразличими помежду си и щайгите също са нераазличими по между си и могат да остават и празни.

Общата задача за разлагане на естествено число на сума от цели неотрицателни събираеми е трудна.

[addicted]

Благодаря много.
Сега пък имам проблем с принципа за включването и изключването.Например при следните задачи:
1. Да се намери броят на простите числа до 100.
2.Да се намери по колко начина могат да се наредят 10 картончета така, че всяко от картончетата, на което е написано нечетно число, да не отиде, в кутията, на която пише неговия номер. Във всяка кутия трябва да има поне едно картонче като и кутиите, и картончетата са 100.
И на двете задачи съм виждал решението, което е с принцип на включването и изключването, но не мога да разбера как се избират множествата във формулата. За това ще съм много благодарен, ако може някой да ми напише формулата , по която решава и съответно кое множество как избира.Мисля, че по-трудно ми е да хвана решението на втора така, че тя ми е по-важна.Ще съм много благодарен.

[addicted]

Всъщност ще са ми по-ценни решениеята на следните задачи:
а) картичките с номера от 1до 4 да са си на мястото (т.е. поне те да са си на мястото)
б)картичките с номера от 1 до 4 да са си на мястото и никои други картички не са си наястото ( точно и само те да са си на мястото)
в) да има най-много 4 картички, които са си на мястото.
Общо картичките/ картончетата или каквото е там са 10,всяка кутия/поща трябва да има точно 1 картичка ( кутиите също са 10) и кутиите /пощите са номерирани като се смята, че картичка с номер i си е на мястото, ако е в поща/кутия номер i.Ще бъда много благодарен,ако получи решение и съответно са посочени кое множество как е избрано.