Вероятности

[abc]

За концерт в зала с 2013 места 2013 зрители са закупили билети. Първият зрител, който е влязъл в залата, е бил разсеян математик и е седнал на случайно място. След това всеки новодошъл зрител заема своето място, ако то е свободно, а в противния случай заема случайно място. Да се намери вероятността последният влязъл зрител да заеме своето място.

[kmitov]

каквато е вероятността и на първия да си седне на мястото, щом го избира по случаен начин.

[L.e.o]

50%

[abc]

50%

Защо?

[L.e.o]

Най-лесно е като разгледаш задачата с 2, 3 и дори 4 места.
Вер. остава 50%. И по матем. индукция... важи и за 2013.

[kmitov]

Ами разгледай я, да се поучим.

[drago]

Вероятността е [tex]1/2[/tex] . Както е написал Лео, може да се докаже последователно, като се почне от [tex]2,3,\cdots[/tex]
Обаче ми стана интересно от какъв ъгъл да погледнем на тази задача, че това да стане съвсем очевидно.
Ако фиксираме опашката от чакащите зрители и интерпретираме мястото, на което сяда поредния влязъл в залата, като все едно маркира този на чието място сяда (може и себе си) получаваме следната еквивалентна постановка.
Имаме n предмета, сложени на масата, подредени от ляво на дясно и номерирани [tex]1,2,\cdots, n[/tex] . Последния предмет е оцветен в зелено, а предпоследния- в червено. Избираме последователно всеки път с равна вероятност един от предметите, като щом изберем даден предмет го махаме заедно с всички, които се намират в ляво от него. Играта свършва в момента, в който изберем някой от последните 2 предмета. Каква е вероятността той да е зелен.
Като помислите малко ще се убедите, че очевидно вероятността последния да е зелен или червен е една и съща, тъй като при всеки избор имаме тези 2 предмета + някакво друго шкарто. Ако избора попада в/у шкартото, правим следващ ход, ако трябва да избираме м/у един от двата предмета- вероятността е по [tex]1/2[/tex].