Раздаване на 4 аса в един човек

[Mr.G{}{}Fy]

Каква е вероятността при раздаване на карти от колода от 32 карти между 4-ма играчи, по 8 карти, на един от играчите да бъдат раздадени 4 аса?

Аз го решавам така:
Избирам 1 играч от 4-мата по 4 начина и му давам асата. После му давам и другите 4 карти по [tex]{28 \choose 4}[/tex], а на останалите 3-ма по [tex]{24\choose 8}{16 \choose 8}[/tex]. Това са благоприятните случаи, а всичките са: [tex]{32 \choose 8}{24 \choose 8}{16 \choose 8}[/tex].
Като отговор получавам: [tex]\frac{4{28 \choose 4}}{{32 \choose 8}}[/tex].
Отговорът според книгата, от която гледам задачата е, че вероятността е 4 пъти по-малка от тази, която аз получавам. Явно греша в това, че умножавам по 4, но ми се струва логично, или отговорът е грешен.
Благодаря за отделеното внимание.

[kmitov]

Ами не е редно да умножаваш по 4. По същите причини, поради които не умножаваш по 3 $C_{24}^8$ броя на начините за оня, на който картите ще избираш измежду 24, не умножаваш по 2, $C_{16}^8$ броя на начините за оня, на който картите ще избираш измежду 16. Също при броенето на възможните изходи не умножаваш по 4 $C_{32}^8$ броя на начините за оня, на който ще избираш картите измежду 32 и т.н.

[drago]

Разбира се, че трябва да се умножи по 4. Защото тези разчети се правят като се фиксира един играч и се смята каква е вероятността точно на него да се паднат асата. И тъй като има 4 играча, вероятността трабва да се умножи по 4.
Но проблемът е, че това и така не е правилно да се пресмята вероятността.

Помисли си следното. Фиксираме един от играчите. Вероятността първото асо(напр. асо пика) да попадне в него е 1/4. Вероятността второто асо да е пак в него е пак 1/4... и така шанса всички аса да попаднат в него е $\frac{1}{4^3}$. Като умножим това по 4 става $1/64$.
Това е доста по-добър шанс даже от сметките на Mr.G{}{}Fy. И изглежда логично нали?

И така къде е истината?
...В нито един от трите отговора!

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаря и на двамата за отделеното внимание.
@drago, можеш ли да дадеш вярно решение и да кажеш съответно кое е грешното в решенията? Иначе наистина това, което написа за [tex]\frac{1}{64}[/tex] ми звучи логично .

[drago]

Първо, тази задача има двусмислено условие:
"Каква е вероятността... на един от играчите да бъдат раздадени 4 аса?"
Какво означава това? На един фиксиран/маркиран играч? или на някой от четеримата играчи?
Това са две различни неща. В една задача не трябва да има място за тълкувания. Т.е. условието е написано през пръсти.

Второ, за самото решение. Като имаме вероятносттна задача, най-важното е да се определи т.н. вероятностно пространство от елементарни събития и вероятността за всяко от тях.
В случая се предполага че имаме една колода от 32 сложени на масата хубаво размесени карти, т.е. всяка пермутация на картите има еднаква вероятност.
За да изглеждаме по учени, нека $S$ e множеството на всички пермутации $\sigma $ на числата $1,2,\dots,32$. Всяка от тях има равна вероятност. Нека първия играч получава първите 8, карти, следващи- следващите 8 и т.н. Това няма никакво заначение, тъй като картите са добре размесени. Т.е. търсим вероятността за произволно избрана $\sigma\in S$ да имаме:
\[\sigma(i)\in \{1,2,\dots,8\}, i=1,2,3,4 \]
T.e. в началото асата са подредени на първите 4 позиции, след това ги пермутираме и така.
Не е трудно да се определи, че броя на благоприятните $\sigma$ е $(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5)\cdot 28! $. Всички пермутации са $32!$. Сметката е ясна. След това умножаваме по 4(или не умножаваме според тълкованието на условието) и това е.
Забележете, че колкото повече броя на картите в колода с 4 бои толкова почвече тази вероятност клони към $1/64$. Така, че при колода с 52 карти, с колкото се игрзе бридж, вероятността от 4 аса ще е по-голяма от колода от 32.
Между другото, ако направите сметката според метода от сниманото четиво, ще видите, че според него вероятностт за 4 аса при 52 карти си е жива 6-ца от тотото. Всеки, който е играл бридж знае, че това не е така. Горе-долу при досттатъчно дълга игра се случва.

И като извод. Каквито учебниците (тези които са ги писали), такова и образованието. Можеш ли да ни светнеш на кой ВУЗ (или каквото там) е този учебник?

[pal702004]

$\frac{C_4^4\cdot C_{28}^4}{C_{32}^8}+\frac{C_4^0\cdot C_{28}^8}{C_{32}^8}\cdot\left[\frac{C_4^4\cdot C_{20}^4}{C_{24}^8}+\frac{C_4^0\cdot C_{20}^8}{C_{24}^8}\cdot\left(\frac{C_4^4\cdot C_{12}^4}{C_{16}^8}+\frac{C_4^0\cdot C_{12}^8}{C_{16}^8}\right)\right]$

Редактиране на формулата

[kmitov]

Първо, тази задача има двусмислено условие:
"Каква е вероятността... на един от играчите да бъдат раздадени 4 аса?"
Какво означава това? На един фиксиран/маркиран играч? или на някой от четеримата играчи?
Това са две различни неща. В една задача не трябва да има място за тълкувания. Т.е. условието е написано през пръсти.

Второ, за самото решение. Като имаме вероятносттна задача, най-важното е да се определи т.н. вероятностно пространство от елементарни събития и вероятността за всяко от тях.
В случая се предполага че имаме една колода от 32 сложени на масата хубаво размесени карти, т.е. всяка пермутация на картите има еднаква вероятност.
За да изглеждаме по учени, нека $S$ e множеството на всички пермутации $\sigma $ на числата $1,2,\dots,32$. Всяка от тях има равна вероятност. Нека първия играч получава първите 8, карти, следващи- следващите 8 и т.н. Това няма никакво заначение, тъй като картите са добре размесени. Т.е. търсим вероятността за произволно избрана $\sigma\in S$ да имаме:
\[\sigma(i)\in \{1,2,\dots,8\}, i=1,2,3,4 \]
T.e. в началото асата са подредени на първите 4 позиции, след това ги пермутираме и така.
Не е трудно да се определи, че броя на благоприятните $\sigma$ е $(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5)\cdot 28! $. Всички пермутации са $32!$. Сметката е ясна. След това умножаваме по 4(или не умножаваме според тълкованието на условието) и това е.
Забележете, че колкото повече броя на картите в колода с 4 бои толкова почвече тази вероятност клони към $1/64$. Така, че при колода с 52 карти, с колкото се игрзе бридж, вероятността от 4 аса ще е по-голяма от колода от 32.
Между другото, ако направите сметката според метода от сниманото четиво, ще видите, че според него вероятностт за 4 аса при 52 карти си е жива 6-ца от тотото. Всеки, който е играл бридж знае, че това не е така. Горе-долу при досттатъчно дълга игра се случва.

И като извод. Каквито учебниците (тези които са ги писали), такова и образованието. Можеш ли да ни светнеш на кой ВУЗ (или каквото там) е този учебник?

И колко е вероятността да получи 4 аса играч номер 1? И колко произволно взет играч? От това което е написано не е съвсем ясно. Не може ли да се се пише по кратко, без философски разсъждения, а да се отговори на въпроса? Хайде ние сме сгрешили, извиняваме се.

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаря за отговорите.
@drago, твоят отговор не е ли същият като в книгата(ако тълкуваме, че говорим за определен играч и като моя, ако смятаме, че говорим за произволен играч)?
@ pal702004, може ли обяснения по отговорът ти?

[inveidar]

За даденото решение, условието би било коректно ако се каже, че Пешо, Гошо, Иван и Драган играят на въпросната игра, то каква е вероятността на Пешо да се паднат четири аса. Друга задача е, ако се пита каква е вероятността на един от четиримата да се паднат четири аса.

[pal702004]

@ pal702004, може ли обяснения по отговорът ти?

Ами, формулата би трябвало да говори сама за себе си.
Или Пешо/първият/ да получи 4 аса, или да получи 0 аса и (Гошо да получи 4 аса, или да получи 0 аса и (Иван да получи 4 или 0 аса)) - последователно, с намаляване на броят на картите (но не и асата)

Което си е точно $4\times \frac{C_{28}^4}{C_{32}^8}$, като го сметнах. Луд умора нема!

Което си е логично де
Пешо, Гошо, Иван, Драган:
4,0,0,0
0,4,0,0
0,0,4,0
0,0,0,4

равновероятни, несъвместими събития - достатъчно е да се сметне едното и да се умножи по 4. Не знам защо ми се стори снощи, че ще се получи друго.

[Mr.G{}{}Fy]

@ pal702004, може ли обяснения по отговорът ти?

Ами, формулата би трябвало да говори сама за себе си.
Или Пешо/първият/ да получи 4 аса, или да получи 0 аса и (Гошо да получи 4 аса, или да получи 0 аса и (Иван да получи 4 или 0 аса)) - последователно, с намаляване на броят на картите (но не и асата)

Което си е точно $4\times \frac{C_{28}^4}{C_{32}^8}$, като го сметнах. Луд умора нема!

Което си е логично де
Пешо, Гошо, Иван, Драган:
4,0,0,0
0,4,0,0
0,0,4,0
0,0,0,4

равновероятни, несъвместими събития - достатъчно е да се сметне едното и да се умножи по 4. Не знам защо ми се стори снощи, че ще се получи друго.

Благодаря. Бил съм изключил като съм питал за обяснение. Иначе беше маскирал хубаво отговора.
@drago - книгата е тази: http://trud.cc/?cid=9&pid=10248 .

[drago]

@drago, твоят отговор не е ли същият като в книгата(ако тълкуваме, че говорим за определен играч и като моя, ако смятаме, че говорим за произволен играч)?

Като го гледам така, същия е: $\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{32\cdot 31\cdot 30\cdot 29}$. Грешката е моя, съжалявам. Явно ме е объркало това 0,0019, много малко ми се стори.
Все пак, има нещо много по-важно от отговора- пътя, по който се стига до него. Аз така бих го решил, не ми се нравят манипулации с комбинации и т.н. само за да се направи упражнение в/у това.