Обяснение на задача от комбинаториката?

[play4u]

Здравейте! От известно време се мъча с една задача от ТУ-2012. Не, че задачата е трудна-по формулите за броя комбинации (Cn... (не мога да форматирам точно на този сайт)) се решава без проблеми. Проблема е, обаче, че подобни задачи винаги съм решавал по един малко-по друг начин, без формули.. И винаги са се получавали. Този път обаче-не
Та ето я и задачата.
От 100 билета в една томбола три носят парична печалба, а пет – предметна. Иван избрал три билета по случаен начин измежду всички. Каква е вероятността те да му донесат една парична и две предметни награди?
А ето и аз как по принцип решавам подобни задачи:
Разглеждам всяко едно теглене като отделен случай. В този случай -
-При първото теглене има 3 варианта- [tex]\frac{3}{100}[/tex]за парична награда. [tex]\frac{5}{100}[/tex] за предметна и [tex]\frac{92}{100}[/tex] да не спечели нищо. Приемам, че е спечелил! (Все пак разглеждаме само благоприятните случаи). И също така приемам, че е спечелил парична награда (наистина няма значение каква точно награда е спечелил-ще обясня по-късно)- Шанса за това е [tex]\frac{3}{100}[/tex].
-Второ теглене - там ни трябва предметна. Тоест имаме 5 благоприятни случая от останалите 99 билета (вече е изтеглил 1!). Тоест [tex]\frac{5}{99}[/tex]
-Трето - отново ни трябва предметна. Вече има само 4 останали благоприятни предметни билета от общо 98 (минус още 1 изтеглен). Тоест [tex]\frac{4}{98}[/tex]
Сега просто изчислявам шанса няколко събития да се случат едно след друго. - [tex]\frac{3}{100}[/tex] * [tex]\frac{5}{99}[/tex] * [tex]\frac{4}{98}[/tex]. (Ето защо няма значение кой случай ще приемем за първи- ако приемем друго разположение, чисто и просто разменяме множителите на числителя, което не променя резултата.) И така окончателно получавам около [tex]\frac{1}{15000}[/tex].. само че отговора е [tex]\frac{1}{5000}[/tex] - точно 3 пъти по-голям... И така.
По принцип този метод винаги ми е давал резултат. Може ли да ми обясните къде бъркам, и дали грешката ми, използвайки този начин винаги ще е 3 пъти по малка от отговора, или ще е n-пъти по малка (като n е броя на тегленията), или е нещо съвсем различно?
Благодаря предварително!

[Mr.G{}{}Fy]

Има значение в какъв ред ще се изберат наградите.
[tex]\frac{3}{100}[/tex] ти е вероятността за парична наградата, ако тя е първа изтеглена. Ама, ако не е тогава вероятността за нея е друга. Вярно е, че ако разгледаш 3те варианта - да спечели (парична, предметна, предметна), да спечели (предметна, парична, предметна) и да спечели (предметна, предметна, предметна) имат една и съща вероятност, но трябва да ги събереш тези вероятности и ще получиш 3* твоят отговор и тогава вероятността ще е точно 3 пъти по-голяма от получената от теб. Идеята е, че 3-те благоприятни случая(които съм написал по-горе) са ти РАЗЛИЧНИ благоприятни събития и това, че отговорът им е еднакъв не означава, че трябва да разгледаш само 1 от тях. Ти разглеждаш само случая, в който ще изтегли първо парична награда (ама може да я изтегли и 2ра или 3та).
Ето ти пример:
Имаме 3 топки - 1 бяла и 2 черни. Каква е вероятността да изтеглим 1 бяла и 1 черна, ако направим 2 тегления без връщане.
По твоята логика резултатът е: [tex]{1 \choose 3}{2 \choose 2} = \frac{1}{3}[/tex], защото за да изтеглим бяла вероятността е [tex]{1 \choose 3}[/tex], а да изтеглим черна след това е: [tex]{2 \choose 2}[/tex]. Обаче това не е верният отговор, защото трябва и да разгледаш случаят, в който първо теглиш черна и после бяла и неговата вероятност да я прибавиш към [tex]\frac{1}{3}[/tex] и да получиш като отговор [tex]\frac{2}{3}[/tex]. Ето и на практика какво се получава нека топките са [tex]A,B,C[/tex] като [tex]A[/tex] е бяла, а [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex] - черни. Тогава 2 топки можеш да извадиш по 3 начина - [tex](A,B), (A,C), (B,C)[/tex] и от тях 2 ти вършат работа (само [tex](B,C)[/tex] не става) [tex]===>[/tex] отговорът е [tex]\frac{2}{3}[/tex].
И една препоръка - научи и как се работи с формулите (комбинации, вариации и т.н.), защото ако получиш някъде някакъв по-дълъг отговор (който е даден в произведения на комбинации примерно) и може да почнеш да разписваш като луд, че да го докараш до дадения.

[play4u]

ЯСНООО... Благодаря ти много! Сега го схванах.. Както аз я решавам разглеждам само един от 3те случая.. Те са с еднаква вероятност, затова да разбера общият случай трябва да умножа по 3.
Само за да съм сигурен дали съм разбрал на 100%
Нали [tex]\frac{1}{15000}[/tex] щеше да е отговора ако в задачата се питаше: Каква е вероятността в определена поредност да се изтеглят наградите?
Благодаря!
А може ли само като сме на тази тема да попитам как точно са изведени формулите за комбинации (C, V, и P) и въобще как най-общо се ползват, че комбинаториката малко ми куца..

[Mr.G{}{}Fy]

ЯСНООО... Благодаря ти много! Сега го схванах.. Както аз я решавам разглеждам само един от 3те случая.. Те са с еднаква вероятност, затова да разбера общият случай трябва да умножа по 3.
Само за да съм сигурен дали съм разбрал на 100%
Нали [tex]\frac{1}{15000}[/tex] щеше да е отговора ако в задачата се питаше: Каква е вероятността в определена поредност да се изтеглят наградите?
Благодаря!
А може ли само като сме на тази тема да попитам как точно са изведени формулите за комбинации (C, V, и P) и въобще как най-общо се ползват, че комбинаториката малко ми куца..

Да, отговорът щеше да е такъв, ако наградите трябваше да са изтеглени в следната последователност (примерно): (предметна, парична, предметна).
Отностно вариациите - [tex]V_{n }^k[/tex] ти показва по колко начина можеш да избереш k елемента от n като последователността, в която ги избираш има значение. Примерно, ако искаш да избереш 3 от 10 човека и да ги сложиш на 3местна пейка, то тогава това ще стане по [tex]10*9*8 = V_{10 }^3[/tex] начина. Отговорът е такъв, тъй като на първото място можеш да сложиш 10 човека и при всеки един такъв избор на второто място можеш да сложиш 9 човека и при всеки един избор на първите 2 места на третото място можеш да сложиш 8 човека. Тук естествено броим [tex](A, B, C), (A, C, B), (C, B, A), (B, A,C), (B, C, A), (C, A, B)[/tex] за 6 различни начина (това са всичките пермутации на 3 елемента) - т.е. за всяка тройка избрани хора имаме по 3! начина да ги разбъркаме.
Ако обаче искаш да избереш 3 човека от 10 (без да ги нареждаш на пейка), то това може да стане по [tex]C_{10 }^3 = \frac{10*9*8}{3!}[/tex] начина. Отговорът е такъв, защото 10*9*8 ни дават броя на възможните избори на 3ма човека, но като броим и редът им (както е описано по-горе с пейките). Обаче видяхме, че всеки избор на 3-ма човека ни дава [tex]3![/tex] начина да ги разбъркаме - т.е. ние сме брояли [tex](A, B, C), (A, C, B), (C, B, A), (B, A,C), (B, C, A), (C, A, B)[/tex] за 6 различни начина, а за нас това е един и същи избор, тъй като и в 6-те случая сме избрали A,B и C без да ни интересува в какъв ред точно. За това делим [tex]10*9*8[/tex] на [tex]3![/tex]. Така броим всяка такава пермутация на 3 елемента точно по 1 път.
Пермутациите са частен случай на вариациите - [tex]P_{10 } = V_{10 }^{10} = 10![/tex]. Пермутациите ни показват по колко начина можеш да наредиш 10 човека на пейка с 10 места (т.е. тук броят на наличните места е равен на броя на хората).
Навсякъде по-горе може да заместиш [tex]10[/tex] с [tex]n[/tex] и [tex]3[/tex] с [tex]k[/tex], за да получиш по общ вид на обясненията.
Все пак е хубаво да вземеш някой учебник и да ги прочетеш и от там нещата.

[play4u]

Благодаря много! Мисля, че долу горе схванах основния принцип. Време е за задачи..