Задача - класическа вероятност

[k.tsanov]

7 ябълки, 3 банана и 5 портокала се разделят по случаен начин в 3 пакета (всеки пакет съдържа по 5 плода). Каква е вероятността:
А={Във всеки пакет има по 1 банан};
Крайният отговор е [tex]\frac{25}{546}[/tex]
Получавам отговор [tex]\frac{25}{91}[/tex], т.е. точно 6 пъти по-голям, по следния начин:
[tex]\frac{{3 \choose 1}{12 \choose 4}}{{15 \choose 5}}*\frac{{2 \choose 1}{8 \choose 4}}{{10 \choose 5}}*\frac{{1 \choose 1}{4 \choose 4}}{{5 \choose 5}}=\frac{25}{91}[/tex]
Логиката ми е следната: в първия плик поставяме 1 от 3 банана плюс 4 от другите 12 плода. Във втория плик поставяме 1 от останалите 2 банана плюс 4 от другите 8 плода. В третия плик поставяме останалия 1 банан плюс останалите 4 плода.Комбинация, понеже няма значение дали е първи, втори, трети, четвърти или пети поред този банан.
Или с други думи:
[tex]5*\frac{3}{15}*\frac{12}{14}*\frac{11}{13}*\frac{10}{12}*\frac{9}{11}*5*\frac{2}{10}*\frac{8}{9}*\frac{7}{8}*\frac{6}{7}*\frac{5}{6}*5*\frac{1}{5}*\frac{4}{4}*\frac{3}{3}*\frac{2}{2}*\frac{1}{1}=\frac{25}{91}[/tex]

Въпросът е къде бъркам, та не получавам верния отговор?
ПП. Понеже пликовете са 3, а моят резултат е 6 пъти по-голям от верния, започвам да се чудя дали не трябва да разделя моя резултат на [tex]{3 \choose 3}=3![/tex]. Дали реда на пликовете има значение?
Предварително благодаря!

[drago]

Според мен не бъркаш никъде.
Като коментирах преди няколко дни една друга задача в същия раздел, казах, че е традиция вероятностните задачи да се решават като се правят някакви манипулации, без да е напълно ясно защо, с комбинации и т.н. с цел да се изкара отговора. Ако пък не се получи, се опитваме да го натъкмим... Цялата работа е, че подходът е грешен.
Първо трябва да се установи какво е пространството(множеството) от елементарни събития, после каква е вероятността на всяко от тях, кои са благоприятните и т.н.

В случая си прдстави плодовете като влизащи в една сфера, където се джуркат и след това ги пускат един по един и пълнят последователно 3 плика по 5 плода.
Значи елементарните събития са всички пермутации на 15-те различни плода. Всяка от тях има равна вероятност, т.е. $1/15!$. Значи, представи си плодовете, преди да се пермутират като $\{1,2,3,\dots, 15\}$, като $1,2,3$ са банани.
След това пермутираме и стават $\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(15) $.Търсим всички пермутации $\sigma$, за които:
$\sigma(1), \sigma(2),\sigma(3)$ са съответно м/у 1 и 5, 6 и 10, 11 и 15; като може и не в този ред, а разбъркано.

Първо да сметнем броят им, ако са точно в този ред:
\[\sigma(1)\in \{1,\dots,5\}, \sigma(2)\in \{6,\dots,10\},\sigma(3)\in \{11,\dots,15\}.\]
Броят на тези $\sigma$ e точно: $5\cdot 5\cdot 5\cdot 12!$. Значи ако разбъркаме нещата, броят на благоприятните сигми е: $3!\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 12!$. Тъй като всяка такава сигма има вероятност $1/15!$, то за търсената вероятност се получава:
\[\frac{3!\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 12!}{15!}=\frac{25}{91}\]
И хич да не ти пука, че отговорът е друг. Нали тези сборници се пишат от хора. Стават грешки.