Разпределение на 6 различни предмета в 5 различни кутии

[inveidar]

Каква е вероятността при случайно разпределение на 6 различни предмета в 5 различни кутии точно една от кутиите да се окаже празна?

[Knowledge Greedy]

Предполага се, че всяка кутия може да съхрани всичките предмети, нали?

[inveidar]

Предполага се, че всяка кутия може да съхрани всичките предмети, нали?

Естествено. Това да не е форум за философия?

[inveidar]

И отговорът е?! [tex]\frac{312}{625}[/tex]?

[inveidar]

Празна може да е една от [tex]5[/tex]-те кутии - [tex]5[/tex] възможности. В останалите [tex]4[/tex] кутии разпределението на предметите може да е от вида [tex]1, 1, 1, 3[/tex] или [tex]1,1, 2, 2[/tex]. Ако е от първия вид, то избираме [tex]3[/tex] от [tex]6[/tex] предмета по [tex]C_6^3[/tex] различни начина и ги слагаме на [tex]4[/tex] възможни места. Така получаваме [tex]4.C_6^3[/tex]. Трите по [tex]1[/tex] предмети ги развъртаме на останалите [tex]3[/tex] места по [tex]3!=6[/tex] начина. Така за коя да е празна кутия благоприятните разпределения от първия вид са [tex]4.C_6^3 .3!=480[/tex]. Благоприятните разпределения от втория вид пресмятаме като първо избираме два от шест предмета по [tex]C_6^2[/tex] начина, след това два от останалите [tex]4[/tex] по [tex]C_4^2[/tex] начина. Така получаваме [tex]C_6^2.C_4^2[/tex] начина. Важно е да отбележим, че това са наредени двойки от два по два предмета. Свободните места за тези две двойки са [tex]C_4^2[/tex], а останалите два предмета можем да сложим на двете останали места(кутиите са [tex]4[/tex]) по два начина. Окончателно [tex]C_6^2.C_4^2.C_4^2.2=1080[/tex] разпределения. Окончателно, търсената вероятност е [tex]\frac{5(480+1080)}{5^6}=\frac{312}{625}[/tex]. Вички възможни разпределения са [tex]5^6[/tex], защото за всеки предмет има пет възможности(попада в първата, втората, третата, четвъртата или петата кутии).

[kmitov]

Защо във втория начин няма избор на две кутии от четитри за двете двойки, както има 4 избора за групата от 3 неща при първия начин?
Имам предвид че кутиите а и групите са различни и би трябвало вместо $C_4^2$ да е $V_4^2= 2.C_4^2$.

[inveidar]

Защо във втория начин няма избор на две кутии от четитри за двете двойки, както има 4 избора за групата от 3 неща при първия начин?
Имам предвид че кутиите а и групите са различни и би трябвало вместо $C_4^2$ да е $V_4^2= 2.C_4^2$.

Има, чети по-внимателно. Обърни внимание и на това, че като избираш две двойки с комбинации, групите се повтарят.

[inveidar]

Това решение, естествено, не е от най-рационалните и поучителни. Помислете си какво бихте правили, следвайки този начин, ако бяха дадени не 6, а 12 предмета? Поради тази причина и пускам следващата задача -https://www.matematika.bg/f/viewtopic.php?f=28&t=20213