Задачи по статистика

[Ина Боянова]

Здравейте, имам да правя домашна работа по статистика.
Имам две задачки, които ме тормозят!
Задача 1.1 Да се намери вероятността при хвърлянето на четири
монети да се паднат поне две ези.
Задача 1.2 В урна има четири топки - бели и черни, като се знае,
че от двата цвята има поне по една топка. Каква е вероятността
извадената случайна топка от урната да бъде черна.

Моля да ми помогнете!!!
Предварително благодаря!

[Genie_Almo]

зад 1.

Тази вероятност е точно 1 минус нейното допълнение до 1. Т.е. 1 минус вероятността да се паднат по-малко от две ези. От своя страна, вероятността да се паднат по-малко от две ези се образува от сбора на вероятностите (обединение на събитията) да се падне точно едно ези и да не се падне нито едно ези.

Използваме стандартна нотация P(Q) изразяваща вероятността да се сбъдне събитието Q. Приемаме, че "ези" и "тура" са равновероятни и взаимно допълващи се, т.е. при едно хвърляне на монетата P(пада се ези) = P(пада се тура) = 0.5

Следователно:

1) P(не се пада нито едно ези) = P(падат се 4-пъти тура) = (0.5)^4 (това е сечение на независимите събития "пада се тура от k-ти път", за k=1,2,3,4)

2) P(пада се точно едно ези) = 4*(0.5)^1*(0.5)^3 (това е обединение на следните сечения: "пада се ези от k-ти път" и "пада се тура при останалите хвърляния", за к=1,2,3,4)

Тогава за общата вероятност да се паднат по-малко от две ези получаваме (0.5)^4+4*(0.5)^1*(0.5)^3 = 5*(0.5)^4 = 3.125

И така за търсената вероятност да се паднат поне две ези остава 1- 3.125 = 0.6875

Задачата може да се реши и чисто комбинаторно като се проиграят всички възможности и броят на вариантите да се паднат 2,3 и 4 ези (общо 11) се отнесе към общия брой варианти (които са 16).

[Davids]

зад 1.

Тази вероятност е точно 1 минус нейното допълнение до 1. Т.е. 1 минус вероятността да се паднат по-малко от две ези. От своя страна, вероятността да се паднат по-малко от две ези се образува от сбора на вероятностите (обединение на събитията) да се падне точно едно ези и да не се падне нито едно ези.

Използваме стандартна нотация P(Q) изразяваща вероятността да се сбъдне събитието Q. Приемаме, че "ези" и "тура" са равновероятни и взаимно допълващи се, т.е. при едно хвърляне на монетата P(пада се ези) = P(пада се тура) = 0.5

Следователно:

1) P(не се пада нито едно ези) = P(падат се 4-пъти тура) = (0.5)^4 (това е сечение на независимите събития "пада се тура от k-ти път", за k=1,2,3,4)

2) P(пада се точно едно ези) = 4*(0.5)^1*(0.5)^3 (това е обединение на следните сечения: "пада се ези от k-ти път" и "пада се тура при останалите хвърляния", за к=1,2,3,4)

Тогава за общата вероятност да се паднат по-малко от две ези получаваме (0.5)^4+4*(0.5)^1*(0.5)^3 = 5*(0.5)^4 = 3.125

И така за търсената вероятност да се паднат поне две ези остава 1- 3.125 = 0.6875

Задачата може да се реши и чисто комбинаторно като се проиграят всички възможности и броят на вариантите да се паднат 2,3 и 4 ези (общо 11) се отнесе към общия брой варианти (които са 16).

И още по-практичния според мен, също комбинаторен начин, е да проследим случаите, когато имаме само едно или никакво ези и да го отнесем към всички случаи.
Всички случаи: $2^4 = 16$
Никакво ези: 1 случай, когато всичко е тура
Едно ези: 4 случая, когато всяка една монета е само тя тура
Получихме 5 неблагоприятни, остават 11 благоприятни случая и вероятността е 11/16.
Видя ми се най-бързо като логически път

[Davids]

За втора задача: имаме три варианта на отношение черни:бели - 1:3, 2:2, 3:1. Всеки от тези случаи представлява една трета от цялата вероятност. В първия случай имаме 1 от 4 „хубави“ ( ) за нас топки, във втория - 2 от 4, в третия - 3 от 4. За цялата вероятност получаваме: $\frac{1}{3}(\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{1}{2}$

[Genie_Almo]

Обаче мен много ме "сърби" да предложа и непрактичния подход към:

зад.2

1) Ако приемем, че за всяка една от неизвестните две топки, шансовете да е бяла или черна са 50/50.

С аналогични разсъждения като в зад.1 изчисляваме:

P(от неизвестните топки 2 са черни) = 0.25

P(от неизвестните топки 1 е бяла и 1 е черна) = 0.5

P(от неизвестните топки 2 са бели) = 0.25

а) Ако приемем, че твърдението "от неизвестните топки 2 са черни" е истина, тогава вероятността да извадим черна топка е 0.75 ( в урната има 3 черни и 1 бяла топка) - нарича се условна вероятност.

б) Ако приемем, че се е сбъднало условието "от неизвестните топки 1 е бяла и 1 е черна", тогава вероятността да извадим черна топка е 0.5 .

в) И съответно, при третото условие "от неизвестните топки 2 са бели" имаме вероятност 0.25 да изтеглим черна топка.

Остава да претеглим горните вероятности със съответните вероятности за реализация на предшестващите ги условия, след което да съберем резултатите.

P(изтегляме черна топка) = 0.25*0.75 + 0.5*0.5 + 0.25*0.25 = 0.5

2) Ако приемем, че P(от неизвестните топки 2 са черни) = P(от неизвестните топки 1 е бяла и 1 е черна) = P(от неизвестните топки 2 са бели) = 1/3 и с тази вероятност претеглим вероятностите от а), б) и в) от предходната хипотеза, получаваме:

0.75*(1/3) + 0.5*(1/3) + 0.25*(1/3) = 0.5

[Genie_Almo]

Наистина решенията на Davids са възможно най-изчистени откъм логика, но мотивът ми да предложа тези разсъждения е, че са в основата на това, което обикновено разказват в курсовете по статистика - това е класически случай на биномно разпределение на броят реализации при "n" повторения на независими и еднакво разпределени по Бернули случайни събития.

[Davids]

Абсолютно подкрепям и принципно съм поддръжник, но тъй като беше изпълнил/а основната функция, аз трябваше да изиграя ролята на антагонист и да представя решението като за реално време

[Genie_Almo]

Получи ти се!

[Ина Боянова]

Благодаря!

[pal702004]

Ако условието на 2-ра задача беше: В урна има 1000 бели и черни топки, м/у които поне 50 бели и поне 50 черни. Каква е вероятността да изтеглим черна? Отговорът пак щеше да е $\frac 1 2$

[Genie_Almo]

В урна има n на брой топки, като между тях има поне [tex]s[/tex] бели и поне [tex]s[/tex] черни, [tex]s\le [\frac{n}{2}][/tex] . Вероятността за всяка една от останалите [tex]n-2s[/tex] топки да бъде черна е q. Каква е вероятността при еднократен опит да изтеглим черна топка ?

[newi67]

Имам нужда от помощ за следната задача: За случайната величина Х е направена случайна извадка от генералната съвкупност: 22, 21, 31, 29, 30, 25, 26, 22, 23, 26, 30, 28, 33, 31, 40, 29, 38, 42, 27, 30, 28, 35, 31, 51, 29, 35, 46, 38, 29, 54, 25, 26, 42, 48, 26, 39, 28, 53. Да се състави честотната таблица на групираните данни със стъпка 5. Да се построи графиката на емпиричната (статистическата) функция на разпределение .