Домашна работа по статистика

[Ина Боянова]

Здравейте, имам домашна работа по-статистика. Не съм наясно с тази материя.
Моля Ви да ми помогнете!!! Предварително благодаря!


Задача 0.1 Машина за бутилиране е настроена по такъв начин, че
средната стойност на количеството, запълвано в бутилките е µ. Из-
вадка от 100 бутилки показва, че средното количество течност в бу-
тилките е 480ml.
Пресметнете 90% и 95% доверителен интервал за средното коли-
чество течност.
Предполагаме, че стандартното отклонение е σ = 50ml.
Задача 0.2 Каква трябва да бъде големината на извадката, за да мо-
же да се определи средното съдържание на бутилките с точност до
50ml с ниво на доверие 90% (доверителния интервал трябва да е +-
50ml).
Предполагаме, че стандартното отклонение е σ = 50ml.
Задача 0.3 Предполагаме, че продължителността на безотказна ек-
сплоатация ξ на един компютър следва експоненциално разпределение,
ξ ∈ Ex(λ). Намерете състоятелна оценка на параметъра λ, ако раз-
полагаме с наблюдения над продължителността на безотказна експ-
лоатация на 5 компютъра - 2, 3, 5, 4 и 7 години. Каква е очакваното
разсейване на продължителността на експлоатация.
Задача 0.4 Хвърляме зарче. Ако резултата (числото, което е на гор-
ната стена) е четно число печелим посочената сума в лв. Ако е нечет-
но число - губим 4 лв. Каква ще бъде очакваната печалба, ако хвърлим
зарчето 3 пъти.

[aalessa]

Здравейте, моля ви да ми напишете и на мен решението на задачата, не мога да се справя! Ще ви бъда много благодарна!

[Genie_Almo]

зад.1

Правим оценката върху хипотеза за нормално разпределение на запълваните количества:

Първо стандартизираме:

[tex]Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{50}{\sqrt{100}}} = \frac{\overline{X}-\mu}{5}[/tex]

1) Изчисляване на доверителен интервал 95%

Трябва да намерим такова $z$, че вероятността $P(-z≤Z≤z)$ да е 95%. Оттук $P(Z≤z)=0.975$ (пиши, ако искаш това да ти го докажа теоретично - по принцип е почти директно следствие от факта, че кривата на стандартното нормално разпределение е осево-симетрична спрямо ординатната ос)

Следователно $z\approx1.96$ (тези стойности няма нужда да ги смяташ ръчно, освен ако не си запалена по интегриране на относително нелицеприятни функции - вземат се от специални таблици или калкулатори, напр. функцията NORM.S.INV(z) в ексел )

Тогава:

$P(-1.96≤Z≤1.96) = P(-1.96≤\frac{\overline{X}-\mu}{5}≤1.96) = P(\overline{X}-5*1,96≤\mu≤\overline{X}-5*1,96) = P(480-5*1,96≤\mu≤480+5*1,96) = 95%$

Окончателно получаваме 95% доверителен интервал [470.2,489.8]

2) Изчисляване на доверителен интервал 90% (използваме вече полученото в предходната оценка) и заместваме с новите стойности) :

$P(-z≤Z≤z) = 90% \Rightarrow P(Z≤z)=95% \Rightarrow z\approx1.645\Rightarrow 90% = P(480-5*1.645≤\mu≤480+5*1.645)$

90% доверителен интервал [471.775,488.225]

Ако трябва да направим някакво заключение от наблюденията можем да кажем, че стандартното отклонение е твърде голямо и съответно доверителните интервали имат широк размах, което не ни дава основание да считаме, че машината е добре калибрована.

[Genie_Almo]

зад. 2

Ще използваме формулата [tex]n=\frac{z^2\sigma^2}{\delta^2}[/tex] , където

$z$ се задава от вероятността $P(Z≤z)=95%$

$\sigma^2$ е стандартнотно отклонение на втора степен (дисперсията)

$\delta$ е размерът на допустимата грешка (доверителния интервал трябва да е +-50ml, следователно $ \delta $ e 50ml)

$n=\frac{1.645^2.50^2}{50^2}\approx3$

[Genie_Almo]

зад 3.

Закон за плътността на експоненциалното разпределение $f(x) = P(X=x) = \lambda e^{-\lambda x}$

Ще направим оценка на параметъра с помощта на принципа за максимално правдоподобие. За целта максимизираме функцията:

$f(x_1)f(x_2)f(x_3)f(x_4)f(x_5) = \lambda e^{-\lambda *2} \lambda e^{-\lambda *3} \lambda e^{-\lambda *4} \lambda e^{-\lambda*5} \lambda e^{-\lambda *7} = \lambda^5e^{-\lambda*21}$

Намираме производната и я приравняваме на 0:

$(\lambda^5e^{-\lambda*21})' = \lambda^4e^{-\lambda*21}(5-\lambda*21) \Rightarrow \lambda = 5/21$

Получената стойност е оценка на средния брой откази за един такт. Оценката на средната продължителност на цикъла ще е $1/\lambda = 21/5 = 4.2$

[Genie_Almo]

зад 4.

При свърляне на зара има три възможности да загубим 4лв. и по една възможност да спечелим 2, 4, или 6лв.

Законът за разпределение на резултатите при еднократен опит (X) е следният:

[tex]\begin{cases} P(x=-4)=3/6 \\ P(x=2) = 1/6 \\ P(x=4) = 1/6 \\ P(x=6) = 1/6 \end{cases}[/tex]

Тъй като трите хвърляния на зара представляват независими, но еднакво разпределени случайни събития, тогава:

$E(X_1+X_2+X_3) = E(3X) = 3E(X) = 3*( -4*\frac{3}{6} + 2*\frac{1}{6}+4*\frac{1}{6}+6*\frac{1}{6})=0$

[aalessa]

Безкрайно много ви благодаря за помоща и бързата реакция!