Вероятност n пътника, n места

[Iv90H]

Здравейте, имам големи затруднения със следната задача и ще съм много благодарен ако някой може да я обясни:

В самолет има n номерирани места. Всеки пътник има билет, на който е означено мястото му. Пътниците се качват по ред на номерата. Първият пътник бил разсеян и не седнал на своето място, а избрал по случаен начин едно от другите места. Всеки следващ пътник сядал на своето място, ако то е свободно или на някое от останалите, ако неговото е заето. Каква е вероятността последният пътник да седне на своето място?

[pal702004]

Ако първият пътник сядаше на случайно място - тоест, с вер. $\dfrac 1 n$ може да седне и на своето, тогава отговора на задачата щеше да е $\dfrac 1 2$ независимо от $n$.

Но ако (както е в условието) първия задължително сяда на чужно място, отговора е $\dfrac{n-2}{2(n-1)}$

[Iv90H]

Благодаря за бързия отговор! А каква е логиката, как да стигна до този отговор? Първият сяда на n-1 места с вероятност [tex]\frac{1}{n-1}[/tex]. Да речем на място k. Остават n-k+1 места за следващия, който може и да седне на 1вото място, но може и да седне на някое случайно място p. След което ще имаме останали n-p+1 свободни места и двама, които ще са седнали на случайно място.

[pal702004]

Благодаря за бързия отговор! А каква е логиката, как да стигна до този отговор? Първият сяда на n-1 места с вероятност [tex]\frac{1}{n-1}[/tex]. Да речем на място k. Остават n-k+1 места за следващия, който може и да седне на 1вото място, но може и да седне на някое случайно място p. След което ще имаме останали n-p+1 свободни места и двама, които ще са седнали на случайно място.

Не ни интересува колко са седнали на случайни места, а кое от двете места е заето първо: номер 1 или номер $n$. Да предположим, че пътниците са 50, а юнака е заел място номер 10. Втория ще си седне на мястото, третия....деветия. Десетия ще е изправен пред избор: Може да седне на място номер 1 - тогава печелим (всички оттам нататък ще си седнат по местата), може да седне на място номер $n$ - тогава губим - седнали са му на мястото на човека. Тези две събития са равновероятни. Също така може да седне на друго място, и когато му дойде реда на човека ще е изправен пред същия избор. През цялото време е равновероятно да се седне на място номер 1 и номер $n$. Важно е къде ще седне първо. Така че вероятността е $1/2$

Но това е в случай, че първия също равновероятно може да седне на място 1 и място $n$. Щом не е така, щом като няма право да си седне на мястото, той има $n-1$ възможности. В никакъв случай не трябва да заема място номер $n$. Вероятността е $\dfrac{n-2}{n-1}$.

Оттам нататък, какт беше казано, вероятността е $1/2$ Или

$\dfrac{n-2}{n-1}\cdot \dfrac 1 2$