вероятност

[duda]

Здравейте.Имам няколко поставени задачи по вероятности ,дали ще може малко помощ?
1.Вероятността за настъпване на събитието А поне веднъж при извършването на 4 независими опита е ½. Да се пресметне вероятността за сбъдване на А при извършването на 1 опит, ако тя е една и съща във всички опити.
2.В урна има N топки с номера от 1 до N. Топките се изваждат случайно една по една без връщане. Каква е вероятността при първите K изваждания номерата на топките да съвпадат с номерата на изважданията?
3.В урна има 2 топки – бяла и черна. Изваждаме по 1 топка, докато се появи черна топка, като при изваждане на бяла топка тя се връща в урната и се добавят още 2 бели топки. Да се пресметне вероятността при първите 50 опита да не бъде извадена черна топка.
4.Компания се състои от 5 мъже и 10 жени. Да се намери вероятността при случайното им групиране в 5 групи по трима души, във всяка група да има мъж.
5.Хвърлят се 10 различими зара. Каква е вероятността да се паднат по равен брой „единици“ и „шестици“?

Предварително благодаря.

[peyo]

1.Вероятността за настъпване на събитието А поне веднъж при извършването на 4 независими опита е ½. Да се пресметне вероятността за сбъдване на А при извършването на 1 опит, ако тя е една и съща във всички опити.

Вероятността да се случи събитие А поне веднъж е равно на 1 - вероятността да не се случва всеки път:

$0.5 = 1 - (1-p)^4$
$(1-p)^4 = 0.5 $
$1- \sqrt[4]{0.5} =p$
$p=0.1591035847462855$

[peyo]

2.В урна има N топки с номера от 1 до N. Топките се изваждат случайно една по една без връщане. Каква е вероятността при първите K изваждания номерата на топките да съвпадат с номерата на изважданията?

Вероятността да извадим първата топка първа е:
$\frac1N$
Вероятността и след това да извадим втората топка втора е:
$\frac1N\frac1{N-1}$
...
...
Вероятността и след това да извадим К-тата топка К е:
$\prod_{i=1}^{K} \frac1{N+1-i} = \frac{1}{\frac{N!}{(N-K)!}} = \frac{(N-K)!}{N!}$

(последното прилича на бином сякаш)

[peyo]

3.В урна има 2 топки – бяла и черна. Изваждаме по 1 топка, докато се появи черна топка, като при изваждане на бяла топка тя се връща в урната и се добавят още 2 бели топки. Да се пресметне вероятността при първите 50 опита да не бъде извадена черна топка.

При опит 1 трябва да извадим бяла топка:
$\frac12$
И слагаме още 2 бели. При опит 2 пак трябва да извадим бяла топка:
$\frac12\frac1{2*2}$
И слагаме още 2 бели. При опит 3 пак трябва да извадим бяла топка:
$\frac12\frac1{2*2}\frac1{2*3}$
...
...
И слагаме още 2 бели. При опит 50 пак трябва да извадим бяла топка:
$\prod_{i=1}^{50} \frac1{2i} = \frac1{2^{50}*50!}$

[peyo]

4.Компания се състои от 5 мъже и 10 жени. Да се намери вероятността при случайното им групиране в 5 групи по трима души, във всяка група да има мъж.

Звучи ми логично да сведен задачата до вероятността случайно да сложим 5 мъже в 5 групи и да се окаже, че всеки е в отделна група.

Вероятността 1-вия мъж да е в отделна група е:
$1$
Вероятността и 2-рия мъж да е в отделна група е:
$1*\frac45$
Вероятността и 3-тия мъж да е в отделна група е:
$1*\frac45*\frac35$
Вероятността и 4-тия мъж да е в отделна група е:
$1*\frac45*\frac35*\frac25$
Вероятността и 5-тия мъж да е в отделна група е:
$1*\frac45*\frac35*\frac25*\frac15 = 0.0384$

[peyo]

5.Хвърлят се 10 различими зара. Каква е вероятността да се паднат по равен брой „единици“ и „шестици“?

Тази задача е много интересна! Веднага не можах да се сетя как да я реша и трябваше да помисля повече, но накрая се сетих за 2 начина (3 ако броим и намиране отговора с компютър).

Тук ще представя комбинаторен подход, където ще броим комбинациите които ни интересуват, за разлика от вероятностния подход където умножаваме вероятности.

В условието не казано изрично, но ние ще предполагаме, че трябва да има поне една единица и шестица.

Равен брой единици и шестици може да се падне като има само 1 единица и само 1 шестица например. Да видим по колко начина може да стане това:

Може да сложим 1 и 6 по 10*9 начина. Останали зарове може да се паднат по 4*4*4*4*4*4*4*4 наачина, значи заедно:

$C(1x1,6x1) = 10*9*(4*4*4*4*4*4*4*4) = 10*9*4^8$

Равен брой единици и шестици може да се падне като има 2 единици и 2 шестици по:

$C(1x2,6x2) = \frac{10*9*8*7*(4*4*4*4*4*4)}{2*1*2*1} = \frac{10*9*8*7*4^6}{2!^2}$

И така нататък до 10:

$C(1x3,6x3) = \frac{10*9*8*7*6*5*(4*4*4*4)}{3*2*1*3*2*1} = \frac{10*9*8*7*6*5*4^4}{3!^2}$

$C(1x4,6x4) = \frac{10*9*8*7*6*5*4*3*(4*4)}{4*3*2*1*4*3*2*1} = \frac{10*9*8*7*6*5*4*3*4^2}{4!^2}$

$C(1x5,6x5) = \frac{10*9*8*7*6*5*4*3*2*1}{5*4*3*2*1*5*4*3*2*1} = \frac{10!}{5!^2}$

И сега вероятността която търсим е сумата на горните ввърху всички възможности:

$P = \frac{C(1x1,6x1) + C(1x2,6x2) + C(1x3,6x3) + C(1x4,6x4) + C(1x5,6x5)}{6^{10}} = 0.20151848200223543$

С което задачата е решена.

[duda]

2.В урна има N топки с номера от 1 до N. Топките се изваждат случайно една по една без връщане. Каква е вероятността при първите K изваждания номерата на топките да съвпадат с номерата на изважданията?

Вероятността да извадим първата топка първа е:
$\frac1N$
Вероятността и след това да извадим втората топка втора е:
$\frac1N\frac1{N-1}$
...
...
Вероятността и след това да извадим К-тата топка К е:
$\prod_{i=1}^{K} \frac1{N+1-i} = \frac{1}{\frac{N!}{(N-K)!}} = \frac{(N-K)!}{N!}$

(последното прилича на бином сякаш)

Благодаря за помощта!