Вероятности

[Nati]

Здравейте имам няколко задачи, които мр затрудняват. Моля за помощ!
1.Колко пъти трябва да се хвърли зар, за да бъде вероятността за падане на поне една шестица по-голяма от: а) 0,5; б) 0,8; в) 0,9?
2. От колода с 32 карти последователно без връщане са изтеглени 3 карти. Да се определят вероятностите на събитията:
A = {измежду тях да има 2 дами};
B = {всички да са от една боя, например 3 кари, 3 купи и т. н.};
C = {първата изтеглена карта да е била купа, ако е известно, че втората е купа}
3. Двама играчи А и В хвърлят последователно правилна монета. Играта започва А, а побеждава онзи играч, който пръв хвърли герб. Каква е вероятността за победа на всеки от играчите А и В?
4.Трима души последователно хвърлят монета. Печели този, който пръв хвърли герб. Да се пресметне Вероятността за печалба на всеки от играчите.

[peyo]

1.Колко пъти трябва да се хвърли зар, за да бъде вероятността за падане на поне една шестица по-голяма от: а) 0,5; б) 0,8; в) 0,9?

Вероятността да се падне поне една 6-ца от к на брой хвърляния е:
$1 - (1-\frac16)(1 - \frac16)...k...(1-\frac16) = 1- (\frac56)^k$

Да изчислим следните стойности с Excel:

k probability
1 0.166666666666667
2 0.305555555555555
3 0.421296296296296
4 0.517746913580247
5 0.598122427983539
6 0.665102023319616
7 0.720918352766347
8 0.767431960638622
9 0.806193300532185
10 0.838494417110154
11 0.865412014258462
12 0.887843345215385
13 0.906536121012821
14 0.922113434177351
15 0.935094528481126
16 0.945912107067604

a) 0.5 при k=4
б) 0.8 при k=9
в) 0.9 при k=13

[peyo]

2. От колода с 32 карти последователно без връщане са изтеглени 3 карти. Да се определят вероятностите на събитията:
A = {измежду тях да има 2 дами};
B = {всички да са от една боя, например 3 кари, 3 купи и т. н.};
C = {първата изтеглена карта да е била купа, ако е известно, че втората е купа}

Хм! Обикновено в едно тесте има 52 карти. Това тесте сигурно е за белот от 7 до А.

A = {измежду тях да има 2 дами};

Вероятността 1-вата карта да е дама е $\frac4{32}$,вероятността и втората да е дама е $\frac4{32}\frac3{31}$, a третата карта не ни интересува.Това го повтаряме 3 пъти и отговора е:
$3*\frac4{32}*\frac3{31} = 0.03629032258064516$

B = {всички да са от една боя, например 3 кари, 3 купи и т. н.};

Вероятността 1-вата карта да е от боя 1 е $\frac8{32}$,вероятността и втората да е от боя 1 е $\frac8{32}\frac7{31}$, a и третата карта да е става $\frac8{32}\frac7{31}\frac6{30}$.Това го повтаряме 4 пъти и отговора е:
$4*\frac8{32}*\frac7{31}*\frac6{30} = 0.04516129032258065$

C = {първата изтеглена карта да е била купа, ако е известно, че втората е купа}

Да изтеглим първа купа от 7 купи от останали 31 вероятността е $\frac{7}{31}$

(това сигурно е въпрос с уловка, но не виждам къде е уловката)

[peyo]

3. Двама играчи А и В хвърлят последователно правилна монета. Играта започва А, а побеждава онзи играч, който пръв хвърли герб. Каква е вероятността за победа на всеки от играчите А и В?

Вероятността А да спечели е ако:
А хвърли герб +
А тура, Б тура, А герб +
А тура, Б тура, А тура, Б тура, А герб +
...

$P_A = \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{2k-1}}$

Това сега е геометрична прогресия с coefficient 0.5 и common ratio 0.25 и затова наготово ще ползваме формулата за сума на безкрайна прогресия от тук
https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series#Sum
и така:
$P_A = \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{2k-1}} = \frac{0.5}{1-0.25} = 0.6666666666666666$

A $P_B = 1 - P_A$

[peyo]

4.Трима души последователно хвърлят монета. Печели този, който пръв хвърли герб. Да се пресметне Вероятността за печалба на всеки от играчите.

Тази задача много прилича на 3. решена по-горе и като я гледам се решава по много подобен начин.

[Гост]

Литературно произведение се състои от 7 тома. Да се определи вероятността
при случайна наредба на томовете, те да се окажат във възходящ или низходящ ред.
3.По колко различни начина могат да се разпределят 18 души в 3 автобуса, ако в
първия има 5 места, във втория има 7, а в третия – 6?

4,
В една библиотека има следните учебници:4 бр. геометрия, 4 бр. алгебра, 4 бр.
история, 4 бр. география, 4 бр. биология. Последователно, без връщане, са извадени 2
учебника. Каква е вероятността на събитията:
а)и двата да са учебници по геометрия;
б)ако първият изваден учебник е по география и вторият да е география;
в)и двата извадени учебника да са по един и същ предмет.