Вероятности

[Гост]

Здравейте, имам нужда от помощ за няколко задачи
Благодаря предварително!

Зад.1 Фирма произвежда изделия, като средно от 100 изделия 5 са дефектни. Всеки ден по случаен начин се избират 6 изделия и се тестват за дефектни. Нека X е броя дефектни изделия измежду избраните.
а) Напишете закона на разпределение на случайната величина X.
б) Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната величина X.

Зад.2 На болен от туберкулоза се прави рентгенова снимка, която се дава на четирима лекари, които си дават мнението независимо един от друг. Ако всеки лекар може да открие болестта по снимката в 80% от случаите, то каква е вероятността поне един от тях да открие туберкулозата? А какъв е очакваният брой лекари, открили болестта?

Зад.3 Тест се състои от 10 въпроса, като на всеки въпрос са дадени по 5 възможни отговора, от които един е верен. Каква е вероятността, ако теста се попълва по случаен начин, да се познаят поне 70% от отговорите? Какво е разпределението на случайната величина X={брой на познатите отговори}?

[peyo]

Зад.1 Фирма произвежда изделия, като средно от 100 изделия 5 са дефектни. Всеки ден по случаен начин се избират 6 изделия и се тестват за дефектни. Нека X е броя дефектни изделия измежду избраните.
а) Напишете закона на разпределение на случайната величина X.
б) Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната величина X.

Всяко изделие може да бъде дефектно с една и съща вероятност $p$. Да видим дали можем да изчислим колко е.

Май $p = \frac1{20}$ изглежда добре. Така $100*p = 5$, което е средното на 100.

Вероятността да бъде точно 1 изделие от 6 дефектно:
$P(X=0) = (1-p)^6$
$P(X=1) = 6*p(1-p)^5$
За 2:
$P(X=2) = \frac{6*5}{2}p^2(1-p)^4$
За 3:
$P(X=3) = \frac{6*5*4}{3*2}p^3(1-p)^3$

а) Напишете закона на разпределение на случайната величина X.

Забелязваме закономерност и така формулата става:

$P(X=k) = \frac{6!}{(6-k)!k!} p^k(1-p)^{6-k} ={6 \choose k}p^k(1-p)^{6-k}$

При последното даже бином изскочи.

б) Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната величина X.

In [484]: P = [ (1-p)**6, 6*p*(1-p)**5, 6*5*p**2*(1-p)**4/2, 6*5*4*p**3*(1-p)**3/(
...: 3*2), 6*5*4*3*p**4*(1-p)**2/(4*3*2), 6*5*4*3*2*p**5*(1-p)**1/(5*4*3*2), p
...: **6]

In [485]: P
Out[485]:
[0.7350918906249998,
0.23213428124999996,
0.030543984375,
0.0021434375,
8.4609375e-05,
1.7812500000000003e-06,
1.5625000000000006e-08]

In [486]: sum(P)
Out[486]: 0.9999999999999997

In [487]: E = sum( [ x*P[x] for x in range(7) ] )

In [488]: E
Out[488]: 0.29999999999999993

In [490]: Var_x = sum( [ (X-E)**2 for X in range(7) ] )/7

In [491]: Var_x
Out[491]: 11.290000000000001

С което задачата е решена.

[peyo]

Зад.2 На болен от туберкулоза се прави рентгенова снимка, която се дава на четирима лекари, които си дават мнението независимо един от друг. Ако всеки лекар може да открие болестта по снимката в 80% от случаите, то каква е вероятността поне един от тях да открие туберкулозата? А какъв е очакваният брой лекари, открили болестта?

Поне един е 1 минус никой:

$p= 1-(1-0.8)^4 = 0.9984$

очакваният брой лекари = $0.8*4 = 3.2$

[peyo]

Зад.3 Тест се състои от 10 въпроса, като на всеки въпрос са дадени по 5 възможни отговора, от които един е верен. Каква е вероятността, ако теста се попълва по случаен начин, да се познаят поне 70% от отговорите? Какво е разпределението на случайната величина X={брой на познатите отговори}?

Тук ще ползваме Binomial distribution с
$p=0.2$

Какво е разпределението на случайната величина X={брой на познатите отговори}?

${\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k} = {\binom {10}{k}}0.2^{k}0.8^{10-k}} $

Каква е вероятността, ако теста се попълва по случаен начин, да се познаят поне 70% от отговорите?

In [497]: n=10

In [498]: pmf = lambda k: binom(n,k)*0.2**k*0.8**(n-k)

In [499]: sum( map( pmf, range(7, 11)))
Out[499]: 0.00086435840000000043