Задачки

[gigito]

Моля за помощ за няколко задачи! Благодаря ви!
1. Жител на голям град решава да си застрахова недвижимото имущество в града, така че в случай на бедствие да му бъде изплатена сумата от 15000 лв. Известно е, че вероятността за бедствие в неговия район е 40, 9 на 10 000. Каква е очакваната печалба на застрахователната фирма, ако тя продава тази полица за 100 лв.?
2.Кашон с бонбони съдържа 24 кутии. Времето между продажбите на тези кутии е експоненциално разпределено със средно 10 минути. Каква е вероятността кашон, отворен в 8 часа да е празен до обяд?
3.Правилна монета се хвърля 1000 пъти. Каква е вероятността броят на езитата да е:
а) между 450 и 550?
б) между 480 и 520?
в) между 490 и 510?
4.Играч решава да залага 5 лева на червено на ролетка, докато спечели на 4 залагания(на ролетката има 0, 00, 18 червени и 18 черни позиции).
а) Каква е вероятността играчът да направи 9 залагания?
б) Колко е очакваната печалба, ако играчът е направил 9 залагания?
5.Колко пъти трябва да се хвърлят два зара, за да може с вероятност по-голяма от 1/2, да се очаква поне веднъж сумата от точките да е равна на 12 (задача на дьо Мере)?

[peyo]

1. Жител на голям град решава да си застрахова недвижимото имущество в града, така че в случай на бедствие да му бъде изплатена сумата от 15000 лв. Известно е, че вероятността за бедствие в неговия район е 40, 9 на 10 000. Каква е очакваната печалба на застрахователната фирма, ако тя продава тази полица за 100 лв.?

Да разгледаме този проблем като казино игра на която търсим RTP*-то.

Играта плаща с множител 5000/100 = 150
Вероятността за печалба е 40.9/10000 = 0.00409

RTP-то е 150*0.00409 = 0.6135

Това означава, че казиното (застрахователната фирма) задържа 100-61.35 = 38.65 % от парите, с което задачата е решена.

* RTP return to player

[peyo]

2.Кашон с бонбони съдържа 24 кутии. Времето между продажбите на тези кутии е експоненциално разпределено със средно 10 минути. Каква е вероятността кашон, отворен в 8 часа да е празен до обяд?

Хм. Тази задача е много интересна и не ми е много ясна, трябва да прочета повече.

Времето между продажбите е средно 10 мин, значи:
$10 = \frac1{24} \sum_{i=1}^{24}t_i$

Хм, това точно с нищо не ни помогна.

Но какво означава, че "времето между продажбите на тези кутии е експоненциално разпределено" ?! Тук просто ще предположим, че става дума за:

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

Тогава:

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\lambda }} = 10} $

$\lambda = \frac {1}{10}$

$PDF = \lambda e^{-\lambda x} = 0.1 e^{-0.1 x} $

$CDF = {\displaystyle 1-e^{-\lambda x}} = 1-e^{-0.1 x}$

От 8 до 12 часа има (12-8)*60 = 240 минути, което са 24 средни интервала. Така на око ще имаме около 50% шанс да продадем всички кутии. Но ние търсим точна стойност, затова продължаваме да мислим.

Експонциалната диострибуция не ни върши работа, защото всъщност ние търсим дострибицията на 24 навързани една след друга експоненциални дистрибуции всяка с ламбда=0.1

За щастие с google намираме статия за Sum of Exponential Random Variables:
https://towardsdatascience.com/sum-of-exponential-random-variables-b023b61f0c0f

Където ни показват как да свържем 2 експоненциални дистрибуции, което е далече от 24 но пак е нещо.

Там около средата намираме следното изречение "This is an Erlang (2, λ) distribution", което ни насочва много добре.

Чудесно! Намираме това:

https://en.wikipedia.org/wiki/Erlang_distribution#Cumulative_distribution_function_(CDF)

Където намираме най-накрая Cumulative distribution function (CDF):

$ {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.}$

В нашия случай x=240, k=24, $\lambda$ = 0.1

Тогава:

In [364]: cdf24 = lambda x, k, l: 1 - sum( map ( lambda n: (1/math.factorial(n))*ma
...: th.exp(-l*x)*(l*x)**n ,range(k)))

In [369]: cdf24(240,24,0.1)
Out[369]: 0.527150279452256

С което задачата е решена.

[peyo]

4.Играч решава да залага 5 лева на червено на ролетка, докато спечели на 4 залагания(на ролетката има 0, 00, 18 червени и 18 черни позиции).
а) Каква е вероятността играчът да направи 9 залагания?
б) Колко е очакваната печалба, ако играчът е направил 9 залагания?

а)

Вероятността да спечели при едно залагане е:
$p= \frac{18}{38}$

За да направи играча 9 залагания, първите 8 залагания трябва да са се паднали 0,1,2 или 3 червени.

Ще използваме:
https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Probability_mass_function

In [377]: n=8

In [379]: p = 18/38

In [380]: pmf = lambda k: binom(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k)

In [381]: sum( map( pmf, range(0, 4)))
Out[381]: 0.42219644857147764

С което задачата е решена.

Малко учудващ отговор. Аз си мислех, вероятността за 9 рунда е по-голяма, а тя се оказа сравнително малка.

б) Колко е очакваната печалба, ако играчът е направил 9 залагания?

RTP-то на играта е 2*18/38 = 0.9473684210526315, тоест играча губи около 5% на всеки залог.

9*5*(1-0.9473684210526315) = 2.3684210526315814 лв. загуба

[peyo]

5.Колко пъти трябва да се хвърлят два зара, за да може с вероятност по-голяма от 1/2, да се очаква поне веднъж сумата от точките да е равна на 12 (задача на дьо Мере)?

Дюшеш се пада с вероятност $\frac{1}{36}$, тоест средно веднъж на 36 пъти. Тогава ако хвърлим 18 пъти ще имаме 50% шанс за дюшеш с което задачата е решена.

Но дали това е верния отговор? Да проверим:

Код: Избери целия код

    import random
    N = 100000000
    p = 0
    zar = [1,2,3,4,5,6]
    for _ in range(N):
        for r in range(18):
            z1,z2 = random.choice(zar),  random.choice(zar)
            if z1+z2==12:
                p+=1
    print (p, N, p/N)


(50002742, 100000000, 0.50002742)

Хм! Изглежда при 18 хвърления ще получим точно 50%, а ние искаме "вероятност по-голяма от 1/2", значи верния отговор е 19.

Изглежда доста лесна задача, може би има някаква уловка и трябва да се реши с някаква странна дистрибуция, но аз не я виждам.