Вероятности

[Гост]

Здравейте, имам проблем с няколко задачи по вероятности.

1.С помощта на 6 картички, на които е написана по 1 буква, е образувана думата „карета“.
Картичките се разбъркват и след това се изваждат случайно една след друга. Каква е вероятността в
реда на изваждането на картичките да се получи думата „ракета“?

2.При всеки опит едно събитие настъпва с вероятност р. Опитите се провеждат
последователно до настъпване на събитието. Да се пресметне вероятността събитието да
настъпи точно на (k + 1)-вия опит, k = 0, 1, 2,….

3.Прекъсване на електрическа верига може да стане поради излизане от строя на елемента
К 1 или и на двата елемента К 2 и К 3 . Трите елемента излизат от строя независимо един от друг
съответно с вероятности 0.3, 0.2 и 0.15. Да се пресметне вероятността за прекъсване на
веригата.

4.В урна има n бели, m червени и k зелени топки, които се изваждат по случаен начин една
след друга: а) без връщане; б) с връщане. В двата случая да се пресметне вероятността на
събитието А = {бяла топка се изважда преди червена топка}.

5.(Парадокс на топките). Урна съдържа n топки. Всички възможни предположения за
броя на белите топки са равновероятни. В урната пускаме 1 бяла топка. Каква е вероятността
случайно избрана след това топка да бъде бяла?

[peyo]

1.С помощта на 6 картички, на които е написана по 1 буква, е образувана думата „карета“.
Картичките се разбъркват и след това се изваждат случайно една след друга. Каква е вероятността в
реда на изваждането на картичките да се получи думата „ракета“?

За да получим ракета трябва да се случи следното:
Да изтеглим р, това е с вероятност 1/6.
След това изтеглим и а:
(1/6)*(2/5)
След това изтеглим и к:
(1/6)*(2/5)*(1/4)
След това изтеглим и е:
(1/6)*(2/5)*(1/4)*(1/3)
След това изтеглим и т:
(1/6)*(2/5)*(1/4)*(1/3)*(1/2)
След това изтеглим и а:
(1/6)*(2/5)*(1/4)*(1/3)*(1/2)*1 = 0.0027777777777777775

[peyo]

2.При всеки опит едно събитие настъпва с вероятност р. Опитите се провеждат
последователно до настъпване на събитието. Да се пресметне вероятността събитието да
настъпи точно на (k + 1)-вия опит, k = 0, 1, 2,….

С други думи събитието не трабва да се случи първите k опити и да се случи на k+1-вия:

$P = (1-p)^kp$

[peyo]

4.В урна има n бели, m червени и k зелени топки, които се изваждат по случаен начин една
след друга: а) без връщане; б) с връщане. В двата случая да се пресметне вероятността на
събитието А = {бяла топка се изважда преди червена топка}.

n,m,k

Зелеne виждам как могат да имат значение значение, защото те с нищо не променят вероятностите за бяло и червено. Ще разглеждаме само:
n,m

Тогава да извадим бяла:
$P=\frac{n}{n+m}$

Играта свършва на първия ход. Връшане няма така това е отговора за а) и б).

[peyo]

5.(Парадокс на топките). Урна съдържа n топки. Всички възможни предположения за
броя на белите топки са равновероятни. В урната пускаме 1 бяла топка. Каква е вероятността
случайно избрана след това топка да бъде бяла?

Щом са равноверятни в урната може да има всяко число от 0 до n бели. Това ще е средно:
$ Е = \frac{\sum_{k=0}^{n}k}{n+1} = \frac{0.5(n+1)n}{n+1} = \frac n2$

Ако добавим една бялa средно ще имаме:

$E_1 = \frac n2 + 1 = \frac {n+2}2$

Тогава вероятността случайно да изберем бяла ще е:

$P = \frac{\frac {n+2}2}{n} = \frac {n+2}{2n}$

С което задачата е решена.

Нещо не разбирам къде е парадокса тук. В областта на вероятностите твърдим, че има парадокс, когато решението е неинтуитивно. Тук не виждам нищо неинтуитивно. Може би решението ми е грешно?!