Задачи вероятности

[Гост]

Нужна ми е помощта ви!
1. На колко е равен най-малкият брой хора, избрани по случаен начин, за да може с вероятност, не по-малка от 1/2 да се твърди че рождените дни на поне двама от тях съвпадат. (Годините на раждане могат да са различни. Предполага се, че 29 февруари, не може да бъде рожден ден, а останалите 365 дни се разглеждат като равновероятни рождени дни.)

2.Група от n човека се нарежда в редица по случаен начин. Да се пресметне вероятността между две предварително избрани лица А и B, да има точно s души, (s ≤ n – 2).
3.Група от 2n + 1 човека сядат около кръгла маса по случаен начин. Да се пресметне вероятността между две предварително избрани лица А и B, да има точно s души, (s ≤ n).
4.Да се определи вероятността контролният номер на първата срещната лека кола:
а) да не съдържа еднакви цифри;
б) да има една двойка еднакви цифри;
в) да има 3 еднакви циф¬ри;
г) да има 2 двойки еднакви цифри;
д) да има една и съща сума от първите 2 и от последните 2 цифри;
е) да се състои от 4 еднакви цифри.
Приемаме, че номерата са четирицифрени от 0000 до 9999 и не се повтарят

5. Върху N картончета са написани имената на N момчета, а върху други M картончета – имената на M момичета (N ≤ M). Картончетата се, слагат в кутия и добре се разбъркват, след което N пъти последователно се изваждат по 2 от тях, без да се връщат обратно в кутията. Каква е вероятността всеки път да бъдат изваждани двойки картончета „момиче – момче“?

[peyo]

Н
2.Група от n човека се нарежда в редица по случаен начин. Да се пресметне вероятността между две предварително избрани лица А и B, да има точно s души, (s ≤ n – 2).
3.Група от 2n + 1 човека сядат около кръгла маса по случаен начин. Да се пресметне вероятността между две предварително избрани лица А и B, да има точно s души, (s ≤ n).

Тези две задачи изглеждат подобни.

Да видим 2 първо.

Да пробваме с броене на комбинации първо, ако не стане ще пробваме да умножаваме вероятности.

По колко начина могат да се наредят 2-ма човека? Първия може да застане на n позиции, а втория на n-1, значи:
$n(n-1)$. Редът може да има или няма значение, ще видим.

А по колко начина двама човека могат да застанат на s позиции един от друг? Първия може да застане на n позиции, а втория на 2, значи $2n$ ? Това май не изглежда добре, защото ако s е голямо, а първия застане по средата, то втория може и да не може да застане на s позиции. Хмм...

Май ще трябва да преброим поотделно всички s
s=0
Ако първвия застане на първо или последно място, то има само по един начин за тях, за останалите случаи по 2. Значи:
1+1+2(n-2) = 2+2(n-2)
s=1
Ако първвия застане на първо или второ място или на предпоследно или на последно място, то има само по един начин за тях, за останалите случаи по 2. Значи:
1+1+1+1+2(n-4) = 4+2(n-4)
s=2
1+1+1+1+1+1+2(n-6) = 6+2(n-6)
s=3
8+2(n-8)
...
Или s=s:
$2(s+1)+2(n-2(s+1))$

Но това дали не е само докато когато $2s<n$?
Например при n=10, s=4 имаме $2*5+2*(10-2*5)=10$ Хм. Изглежда точно. А при n=10, s=6? $2*7+2*(10-2*7)=6$ Хм, тази формула се оказа добра за всички s!

И така търсената вероятност е:

$p(n,s) = \frac{ 2(s+1)+2(n-2(s+1)) } {n(n-1)} = \frac{ 2s+2+2n - 4s+4 } {n(n-1)} = \frac{ 2( n-s +3) } {n(n-1)}$

С което задачата е решена.

Н
3.Група от 2n + 1 човека сядат около кръгла маса по случаен начин. Да се пресметне вероятността между две предварително избрани лица А и B, да има точно s души, (s ≤ n).

Тази май e доста по-лесна, защото винаги ще могат да застанат и дваната на разстояние s. Направо без много много да се замисляме пишем:

$p(n,s) = \frac{ 2(2n + 1) } {(2n + 1)(2n)} =\frac{1}{n}$

Този изненадващо прост резултат е много интересен! Най-вече с това дали е верен!

[peyo]

5. Върху N картончета са написани имената на N момчета, а върху други M картончета – имената на M момичета (N ≤ M). Картончетата се, слагат в кутия и добре се разбъркват, след което N пъти последователно се изваждат по 2 от тях, без да се връщат обратно в кутията. Каква е вероятността всеки път да бъдат изваждани двойки картончета „момиче – момче“?

Много интересна задача!

Първо да решим задачата за малките числа.
Например ако имаме 1 момче и 1 момиче, Тогава вероятността е 1. Ако имаме 1 момче и 2 момичета 1 а б. Тогава може да имаме двойките 1а 1б аб ба а1 б1, вероятността е 4/6 = 2/3.
Ако имаме 1 2 а б стават: 12 21 аб ба 1б б1 1а а1 2а а2 2б б2 , вероятността е 8/12 = 2/3.

Да пробваме с умножаване на вероятност.
За първата двойка вероятността първо да изберем момче е N/(N+M) , второ да изберем момиче М/(Н-1+М) става:
$p_1(N,M) = \frac{N}{N+M}\frac{M}{N-1+M} + \frac{M}{N+M}\frac{N}{N+M-1} $
$p_2(N,M) = \frac{N-1}{N-1+M-1}\frac{M-1}{N-2+M-1} + \frac{M-1}{N-1+M-1}\frac{N-1}{N-1+M-2}$
Забелязваме, че можем да запишем:
$p_2(N,M) = p_1(N-1,M-1)$

И така стигнахме до рекурсивната формула:

$p_k(N,M) = \begin{cases} p_{k-1}(N-1,M-1) \text{ \ \ if \ \ } k > 1 \\ \frac{N}{N+M}\frac{M}{N-1+M} + \frac{M}{N+M}\frac{N}{N+M-1} \text{ \ \ if \ \ } k = 1 \end{cases}$


Така търсената вероятност е:

$p(N,M) = \prod_{k=1}^{N }p_k(N,M)$

С което задачата е решена.

Тази формула е точна за малките примери досега. Дали може да се опрости и да се махне цикъла? Не знам ?!

[peyo]

Така търсената вероятност е:

$p(N,M) = \prod_{k=1}^{N }p_k(N,M)$

С което задачата е решена.

Тази формула е точна за малките примери досега. Дали може да се опрости и да се махне цикъла? Не знам ?!

Да се опитаме да намерим закономерност:

$p_{N=5} = \frac{32 M N \left(M - 4\right) \left(M - 3\right) \left(M - 2\right) \left(M - 1\right) \left(N - 4\right) \left(N - 3\right) \left(N - 2\right) \left(N - 1\right)}{\left(M + N\right) \left(M + N - 9\right) \left(M + N - 8\right) \left(M + N - 7\right) \left(M + N - 6\right) \left(M + N - 5\right) \left(M + N - 4\right) \left(M + N - 3\right) \left(M + N - 2\right) \left(M + N - 1\right)}$

$=\frac{3840}{\left(M + 1\right) \left(M + 2\right) \left(M + 3\right) \left(M + 4\right) \left(M + 5\right)}$

$p_{N=4} = \frac{16 M N \left(M - 3\right) \left(M - 2\right) \left(M - 1\right) \left(N - 3\right) \left(N - 2\right) \left(N - 1\right)}{\left(M + N\right) \left(M + N - 7\right) \left(M + N - 6\right) \left(M + N - 5\right) \left(M + N - 4\right) \left(M + N - 3\right) \left(M + N - 2\right) \left(M + N - 1\right)}$

$=\frac{384}{\left(M + 1\right) \left(M + 2\right) \left(M + 3\right) \left(M + 4\right)}$

$p_{N=3} = \frac{8 M N \left(M - 2\right) \left(M - 1\right) \left(N - 2\right) \left(N - 1\right)}{\left(M + N\right) \left(M + N - 5\right) \left(M + N - 4\right) \left(M + N - 3\right) \left(M + N - 2\right) \left(M + N - 1\right)}$

$=\frac{48}{\left(M + 1\right) \left(M + 2\right) \left(M + 3\right)}$

Тук забелязваме много хубава закономерност и така формулата се опростява до:

$p(N,M) = \frac{2^N N!M!}{(M + N)!} $

Тук ако помислим повече май може и някой бином да сложим и още повече да опростим формулата за практически цели.

[peyo]

1. На колко е равен най-малкият брой хора, избрани по случаен начин, за да може с вероятност, не по-малка от 1/2 да се твърди че рождените дни на поне двама от тях съвпадат. (Годините на раждане могат да са различни. Предполага се, че 29 февруари, не може да бъде рожден ден, а останалите 365 дни се разглеждат като равновероятни рождени дни.)

Вероятността $p$ поне двама от k да съвпадат е равно на едно минус вероятността $q$ на никой да не съвпадат:

$q(k)= \frac{365}{365}*\frac{364}{365}*\frac{363}{365}*...*\frac{365-k+1}{365} = \prod_{i=1}^{k }\frac{365-i+1}{365} $

Тази формула не е много удобна за изчисления. Да пробваме да намерим рекурсивна формула:
$q(k)= \begin{cases} q(k-1)\frac{365-k}{365} \text{\ \ if \ \ k>1 } \\ 1 \text{ \ \ if k=1 \ \ } \end{cases}$

Това е много удобна формула за Excel! Но и с Python става много добре:

In [58]: def q(k):
...: return q(k-1)*(365-k)/365 if k>0 else 1
...:

In [59]: for k in range(1,30):
...: print (k,1-q(k))
...:
1 0.002739726027397249
2 0.008204165884781456
3 0.016355912466550326
4 0.02713557369979369
5 0.04046248364911165
6 0.05623570309597559
7 0.07433529235166925
8 0.09462383388916695
9 0.1169481777110779
10 0.14114137832173335
11 0.1670247888380647
12 0.19441027523242982
13 0.22310251200497344
14 0.2529013197636867
15 0.28360400525285023
16 0.3150076652965609
17 0.3469114178717895
18 0.37911852603153684
19 0.41143838358058016
20 0.4436883351652059
21 0.4756953076625502
22 0.5072972343239855
23 0.5383442579145289
24 0.568699703969464
25 0.598240820135939
26 0.6268592822632421
27 0.6544614723423995
28 0.680968537477777
29 0.7063162427192686

Значи 22 човека краен отговор.